Theorem restid 16094

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 6955	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 3660	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 4611	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 221	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 16091	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 694	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rest 16083

This theorem is referenced by:  restin  20970  cnrmnrm  21165  cmpkgen  21354  xkopt  21458  xkoinjcn  21490  ussid  22064  tuslem  22071  cnperf  22623  retopconn  22632  cncfcn1  22713  cncfmpt2f  22717  cdivcncf  22720  abscncfALT  22723  cnmpt2pc  22727  cnrehmeo  22752  cnlimc  23652  recnperf  23669  dvidlem  23679  dvcnp2  23683  dvcn  23684  dvnres  23694  dvaddbr  23701  dvmulbr  23702  dvcobr  23709  dvcjbr  23712  dvrec  23718  dvexp3  23741  dveflem  23742  dvlipcn  23757  lhop1lem  23776  ftc1cn  23806  dvply1  24039  dvtaylp  24124  taylthlem2  24128  psercn  24180  pserdvlem2  24182  pserdv  24183  abelth  24195  logcn  24393  dvloglem  24394  dvlog  24397  dvlog2  24399  efopnlem2  24403  logtayl  24406  cxpcn  24486  cxpcn2  24487  cxpcn3  24489  resqrtcn  24490  sqrtcn  24491  dvatan  24662  ftalem3  24801  cxpcncf1  30673  retopsconn  31231  ivthALT  32330  knoppcnlem10  32492  knoppcnlem11  32493  dvtan  33460  ftc1cnnc  33484  dvasin  33496  dvacos  33497  binomcxplemdvbinom  38552  binomcxplemnotnn0  38555  fsumcncf  40091  ioccncflimc  40098  cncfuni  40099  icocncflimc  40102  cncfiooicclem1  40106  cxpcncf2  40113  itgsubsticclem  40191  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem32  40356  fourierdlem33  40357  fourierdlem62  40385  fourierdlem93  40416  fourierdlem101  40424