Theorem itg2cn 23530

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 23800 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 11884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
4	1, 3	ltsubrpd 11904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹))
5	3	rpred 11872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
7	6, 1	ltnled 10184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘𝐹) ↔ ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
8	4, 7	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
12	10, 11	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
13	12	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
15	12	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
16		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17	14, 15, 16	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
19		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
21	20	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))
23	21, 22	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
24		itg2cl 23499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))
27	25, 26	fmptd 6385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
28		frn 6053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ* → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
30	6	rexrd 10089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
31		supxrleub 12156	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
33		itg2cn.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
34	9, 33, 1	itg2cnlem1 23528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2‘𝐹))
35	34	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
36		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ* → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ)
37	27, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ)
38		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
39	38	ralrn 6362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
40		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚))
41	40	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))
42	41	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)))
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
44		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ V
45	43, 26, 44	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))))
46	45	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
47	46	ralbiia 2979	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
48	39, 47	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
49	37, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹‘𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
50	32, 35, 49	3bitr3d 298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
51	8, 50	mtbid 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
52		rexnal 2995	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
53	51, 52	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
54	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
55	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
56	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
57	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
58		simprl 794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
59		simprr 796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
61	60	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))
62	61, 60	ifbieq1d 4109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
63	62	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))
64	63	fveq2i 6194	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0)))
65	64	breq1i 4660	. . . . 5 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
66	59, 65	sylnib 318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑦), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
67	54, 55, 56, 57, 58, 66	itg2cnlem2 23529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
68		elequ1 1997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
69	68, 60	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
70	69	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))
71	70	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0)))
72	71	breq1i 4660	. . . . . 6 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶)
73	72	imbi2i 326	. . . . 5 ⊢ (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
74	73	ralbii 2980	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
75	74	rexbii 3041	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑦), 0))) < 𝐶))
76	67, 75	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
77	53, 76	rexlimddv 3035	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  [,)cico 12177  [,]cicc 12178  volcvol 23232  MblFncmbf 23383  ∫₂citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgcn  23609