Theorem itg2cn 23530

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 23800 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2cn.3	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2cn.4	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, C   F, d, u, x   ph, u, x

Allowed substitution hint:   ph( d)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables m y z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR+ )
3	2	rphalfcld 11884	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR+ )
4	1, 3	ltsubrpd 11904	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) )
5	3	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR )
6	1, 5	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR )
7	6, 1	ltnled 10184	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) <-> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
8	4, 7	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
11		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
12	10, 11	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
13	12	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
14	13	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR* )
15	12	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
16		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
17	14, 15, 16	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
19		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21	20	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) )
23	21, 22	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
24		itg2cl 23499	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* )
28		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
30	6	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* )
31		supxrleub 12156	. . . . . 6 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* /\ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
33		itg2cn.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. MblFn )
34	9, 33, 1	itg2cnlem1 23528	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) = ( S.2 ` F ) )
35	34	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
36		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
37	27, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
38		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
39	38	ralrn 6362	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
40		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( F ` x ) <_ n <-> ( F ` x ) <_ m ) )
41	40	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) )
42	41	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
44		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. _V
45	43, 26, 44	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
46	45	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
47	46	ralbiia 2979	. . . . . . 7 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
48	39, 47	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
49	37, 48	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
50	32, 35, 49	3bitr3d 298	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
51	8, 50	mtbid 314	. . 3 |- ( ph -> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
52		rexnal 2995	. . 3 |- ( E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
53	51, 52	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
54	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
55	33	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F e. MblFn )
56	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> ( S.2 ` F ) e. RR )
57	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> C e. RR+ )
58		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> m e. NN )
59		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
61	60	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ m <-> ( F ` y ) <_ m ) )
62	61, 60	ifbieq1d 4109	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
63	62	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
64	63	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) )
65	64	breq1i 4660	. . . . 5 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
66	59, 65	sylnib 318	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
67	54, 55, 56, 57, 58, 66	itg2cnlem2 23529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
68		elequ1 1997	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. u <-> y e. u ) )
69	68, 60	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) = if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
70	69	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
71	70	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) )
72	71	breq1i 4660	. . . . . 6 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C )
73	72	imbi2i 326	. . . . 5 |- ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
74	73	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
75	74	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
76	67, 75	sylibr 224	. 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )
77	53, 76	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgcn  23609