Theorem itgaddlem1 23589

Description: Lemma for itgadd 23591. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
itgadd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgadd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgadd.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
itgadd.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgaddlem1	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgadd.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 10069	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4		itgadd.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		itgadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
6		itgadd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		itgadd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
8	4, 5, 6, 7	ibladd 23587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
9		itgadd.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		itgadd.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
11	1, 2, 9, 10	addge0d 10603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐶))
12	3, 8, 11	itgposval 23562	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
13	1, 5, 9	itgposval 23562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
14	2, 7, 10	itgposval 23562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
15	13, 14	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
16	1, 9	iblpos 23559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
17	5, 16	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
18	17	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
19	18, 1	mbfdm2 23405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
20		mblss 23299	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
22		rembl 23308	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ dom vol
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
24		elrege0 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
25	1, 9, 24	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
26		0e0icopnf 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
28	25, 27	ifclda 4120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
30		eldifn 3733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31	iffalsed 4097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
33		iftrue 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
34	33	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
35	34, 18	syl5eqel 2705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
36	21, 23, 29, 32, 35	mbfss 23413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
37	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,)+∞))
38		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
39	37, 38	fmptd 6385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
40	17	simprd 479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
41		elrege0 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
42	2, 10, 41	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
43	42, 27	ifclda 4120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
44	43	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
45	31	iffalsed 4097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
46		iftrue 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
47	46	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
48	2, 10	iblpos 23559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)))
49	7, 48	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ))
50	49	simpld 475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
51	47, 50	syl5eqel 2705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
52	21, 23, 44, 45, 51	mbfss 23413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) ∈ MblFn)
53	43	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,)+∞))
54		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
55	53, 54	fmptd 6385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
56	49	simprd 479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) ∈ ℝ)
57	36, 39, 40, 52, 55, 56	itg2add 23526	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))))
58		reex 10027	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
60		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
61		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))
62	59, 37, 53, 60, 61	offval2 6914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))))
63	33, 46	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (𝐵 + 𝐶))
64		iftrue 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = (𝐵 + 𝐶))
65	63, 64	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
66		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
67		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
68	66, 67	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = (0 + 0))
69		00id 10211	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
70	68, 69	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
71		iffalse 4095	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0) = 0)
72	70, 71	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
73	65, 72	pm2.61i 176	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)
74	73	mpteq2i 4741	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) + if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))
75	62, 74	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0)))
76	75	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
77	15, 57, 76	3eqtr2d 2662	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 + 𝐶), 0))))
78	12, 77	eqtr4d 2659	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939  +∞cpnf 10071   ≤ cle 10075  [,)cico 12177  volcvol 23232  MblFncmbf 23383  ∫₂citg2 23385  𝐿¹cibl 23386  ∫citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgaddlem2  23590