Theorem itgaddlem1 23589

Description: Lemma for itgadd 23591. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgadd.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgadd.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
itgadd.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
itgadd.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
itgadd.6	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
itgadd.7	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )
itgadd.8	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ C )

Assertion

Ref	Expression
itgaddlem1	|- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S. A B _d x + S. A C _d x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem itgaddlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2		itgadd.6	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
3	1, 2	readdcld 10069	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
4		itgadd.1	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5		itgadd.2	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
6		itgadd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
7		itgadd.4	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
8	4, 5, 6, 7	ibladd 23587	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. L^1 )
9		itgadd.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )
10		itgadd.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ C )
11	1, 2, 9, 10	addge0d 10603	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( B + C ) )
12	3, 8, 11	itgposval 23562	. 2 |- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) ) )
13	1, 5, 9	itgposval 23562	. . . 4 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) )
14	2, 7, 10	itgposval 23562	. . . 4 |- ( ph -> S. A C _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) )
15	13, 14	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( S. A B _d x + S. A C _d x ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) )
16	1, 9	iblpos 23559	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
17	5, 16	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) )
18	17	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
19	18, 1	mbfdm2 23405	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. dom vol )
20		mblss 23299	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
22		rembl 23308	. . . . . 6 |- RR e. dom vol
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR e. dom vol )
24		elrege0 12278	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
25	1, 9, 24	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
26		0e0icopnf 12282	. . . . . . . 8 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
28	25, 27	ifclda 4120	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
29	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
30		eldifn 3733	. . . . . . 7 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
31	30	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
32	31	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , B , 0 ) = 0 )
33		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> if ( x e. A , B , 0 ) = B )
34	33	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> B )
35	34, 18	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) e. MblFn )
36	21, 23, 29, 32, 35	mbfss 23413	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) e. MblFn )
37	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) )
39	37, 38	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
40	17	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR )
41		elrege0 12278	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
42	2, 10, 41	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
43	42, 27	ifclda 4120	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
44	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
45	31	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 )
46		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
47	46	mpteq2ia 4740	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. A |-> C )
48	2, 10	iblpos 23559	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
49	7, 48	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) e. RR ) )
50	49	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
51	47, 50	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. MblFn )
52	21, 23, 44, 45, 51	mbfss 23413	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) e. MblFn )
53	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
54		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
55	53, 54	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
56	49	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) e. RR )
57	36, 39, 40, 52, 55, 56	itg2add 23526	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) )
58		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
59	58	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. _V )
60		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) )
61		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) )
62	59, 37, 53, 60, 61	offval2 6914	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) ) )
63	33, 46	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( B + C ) )
64		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) = ( B + C ) )
65	63, 64	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) )
66		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , B , 0 ) = 0 )
67		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 )
68	66, 67	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
69		00id 10211	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 0 ) = 0
70	68, 69	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = 0 )
71		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) = 0 )
72	70, 71	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) )
73	65, 72	pm2.61i 176	. . . . . 6 |- ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) = if ( x e. A , ( B + C ) , 0 )
74	73	mpteq2i 4741	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , B , 0 ) + if ( x e. A , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) )
75	62, 74	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) )
76	75	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) ) )
77	15, 57, 76	3eqtr2d 2662	. 2 |- ( ph -> ( S. A B _d x + S. A C _d x ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( B + C ) , 0 ) ) ) )
78	12, 77	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S. A B _d x + S. A C _d x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itgaddlem2  23590