Theorem limcdif 23640

Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdif	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcdif

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		fdm 6051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		limcrcl 23638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
8	4, 7	eqsstr3d 3640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9	6	simp3d 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 9	jca 554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
11	10	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
12		undif1 4043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
13		difss 3737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
14		fssres 6070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
15	1, 13, 14	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
16		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
19		limcrcl 23638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21	20	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
22	18, 21	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
23	20	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	snssd 4340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
25	22, 24	unssd 3789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
26	12, 25	syl5eqssr 3650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
27	26	unssad 3790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
28	27, 23	jca 554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
29	28	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
30		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
31		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
33	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34		simprl 794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
35		simprr 796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	30, 31, 32, 33, 34, 35	ellimc 23637	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
37	12	eqcomi 2631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
38	37	oveq2i 6661	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
39		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))
40	37, 39	mpteq12i 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
41		elun 3753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
42		velsn 4193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
43	42	orbi2i 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
44		pm5.61 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
45		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
47	44, 46	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
48	47	ifeq2da 4117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
49	43, 48	sylbi 207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
50	41, 49	sylbi 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
51	50	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
52	40, 51	eqtr4i 2647	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
53	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
54	34	ssdifssd 3748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
55	38, 31, 52, 53, 54, 35	ellimc 23637	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
56	36, 55	bitr4d 271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
57	56	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))))
58	11, 29, 57	pm5.21ndd 369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
59	58	eqrdv 2620	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  {csn 4177   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   CnP ccnp 21029   lim_ℂ climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  dvcnp2  23683  dvmulbr  23702  dvrec  23718  fourierdlem62  40385