Theorem mplsubrglem 19439

Description: Lemma for mplsubrg 19440. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplsubrglem.p	⊢ 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mplsubrglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubrglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
4		mpllss.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mplsubg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		mplsubg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
7	5, 1, 6, 2	mplbasss 19432	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8		mplsubrglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
9	7, 8	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10		mplsubrglem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
11	7, 10	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
12	1, 2, 3, 4, 9, 11	psrmulcl 19388	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13		ovexd 6680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ V)
14	1, 2	psrelbasfun 19380	. . . 4 ⊢ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌))
16		mplsubrglem.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
18	16, 17	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
20		mplsubrglem.p	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
21		df-ima 5127	. . . . 5 ⊢ ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
22	20, 21	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
23	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 19430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
24	23	simprbi 480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 finSupp 0 )
25	8, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
26	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 19430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
27	26	simprbi 480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 finSupp 0 )
28	10, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 finSupp 0 )
29		fsuppxpfi 8292	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 finSupp 0 ∧ 𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
30	25, 28, 29	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
31		ofmres 7164	. . . . . . 7 ⊢ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔))
32		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ V
33	31, 32	fnmpt2i 7239	. . . . . 6 ⊢ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
34		dffn4 6121	. . . . . 6 ⊢ (( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
35	33, 34	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
36		fofi 8252	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
37	30, 35, 36	sylancl 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
38	22, 37	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
39		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
40		mplsubrglem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
41	1, 39, 40, 2, 12	psrelbas 19379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
42		mplsubrglem.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
43	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
44	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
45		eldifi 3732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐷)
46	45	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐷)
47	1, 2, 42, 3, 40, 43, 44, 46	psrmulval 19386	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))
48	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
49	5, 39, 6, 40, 10	mplelf 19433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
51		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
52		mplsubg.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝐼 ∈ 𝑊)
54	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}
57	40, 56	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
58	53, 54, 55, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
59	51, 58	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷)
60	50, 59	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
61	39, 42, 16	ringlz 18587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 )
62	48, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 )
63		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))
64	63	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋‘𝑥) = 0 → (((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 ))
65	62, 64	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 ))
66	5, 39, 6, 40, 8	mplelf 19433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
67	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
68	51, 55	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
69	67, 68	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
70	39, 42, 16	ringrz 18588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 )
71	48, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 )
72		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = ((𝑋‘𝑥) · 0 ))
73	72	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 → (((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) · 0 ) = 0 ))
74	71, 73	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 ))
75	40	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
76	53, 68, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
77	76	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0)
78	40	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
79	53, 54, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
80	79	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0)
81		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥‘𝑛) ∈ ℂ)
82		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘‘𝑛) ∈ ℂ)
83		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘‘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
84	81, 82, 83	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘‘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
85	77, 80, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))) = (𝑘‘𝑛))
86	85	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘‘𝑛)))
87		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)) ∈ V)
88	76	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑥‘𝑛)))
89	79	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (𝑘‘𝑛)))
90	53, 80, 77, 89, 88	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛))))
91	53, 77, 87, 88, 90	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘𝑓 + (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑥‘𝑛) + ((𝑘‘𝑛) − (𝑥‘𝑛)))))
92	86, 91, 89	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘𝑓 + (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 𝑘)
93		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴))
94	92, 93	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∘𝑓 + (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (𝐷 ∖ 𝐴))
95	94	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ¬ (𝑥 ∘𝑓 + (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ 𝐴)
96		ovres 6800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = (𝑥 ∘𝑓 + (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))
97		fnovrn 6809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
98	97, 22	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ 𝐴)
99	33, 98	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ 𝐴)
100	96, 99	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥 ∘𝑓 + (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ 𝐴)
101	95, 100	nsyl 135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
102		ianor 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
103	101, 102	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
104		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
105	104	baib 944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
106	68, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
107		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 )
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
109		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
110	40, 109	rabex2 4815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ V
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
112	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 0 ∈ V)
113	67, 108, 111, 112	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋‘𝑥) = 0 )
114	113	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋‘𝑥) = 0 ))
115	106, 114	sylbird 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋‘𝑥) = 0 ))
116		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
117	116	baib 944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
118	59, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
119		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 )
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
121	50, 120, 111, 112	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 )
122	121	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 ))
123	118, 122	sylbird 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (¬ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 ))
124	115, 123	orim12d 883	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 )))
125	103, 124	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = 0 ))
126	65, 74, 125	mpjaod 396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = 0 )
127	126	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ 0 ))
128	127	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥) · (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ 0 )))
129	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
130		ringmnd 18556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
131	129, 130	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
132	40	psrbaglefi 19372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
133	52, 45, 132	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
134	16	gsumz 17374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
135	131, 133, 134	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
136	47, 128, 135	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐷 ∖ 𝐴)) → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
137	41, 136	suppss 7325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
138		suppssfifsupp 8290	. . 3 ⊢ ((((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 )
139	13, 15, 19, 38, 137, 138	syl32anc 1334	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 )
140	5, 1, 2, 16, 6	mplelbas 19430	. 2 ⊢ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
141	12, 139, 140	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ∘_𝑟 cofr 6896   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  ℂcc 9934   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294  Ringcrg 18547   mPwSer cmps 19351   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  mplsubrg  19440