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Theorem reconnlem2 22630

Description: Lemma for reconn 22631. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
reconnlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
reconnlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
reconnlem2.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
reconnlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ 𝐴))
reconnlem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴))
reconnlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
reconnlem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
reconnlem2.9	⊢ 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )

**Assertion**
Ref	Expression
reconnlem2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦 𝑦,𝐶 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦) 𝐶(𝑥) 𝑆(𝑥,𝑦) 𝑈(𝑥,𝑦) 𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reconnlem2 Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reconnlem2.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < )
2		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐶)
3		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
4		reconnlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ 𝐴))
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
6		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑉 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
7		reconnlem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∩ 𝐴))
8	6, 7	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
9		reconnlem2.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥[,]𝑦) = (𝐵[,]𝑦))
11	10	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
12		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐵[,]𝑦) = (𝐵[,]𝐶))
13	12	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝐵[,]𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴))
14	11, 13	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
15	5, 8, 9, 14	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
16		reconnlem2.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	15, 16	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
18	2, 17	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
19		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑈
20	19, 4	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
21	16, 5	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
23	16, 8	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
24	23	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
25		reconnlem2.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
26		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
28	20, 27	elind 3798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
29		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
31	2	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶))
32		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶)))
33	21, 23, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶)))
34		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶)
35	33, 34	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝑤 ≤ 𝐶))
36	31, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑤 ≤ 𝐶))
37	36	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶)
38		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑤 ≤ 𝐶))
39	38	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶))
40	39	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
41	23, 37, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
42		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
43	18, 30, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
44	1, 43	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
45		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺)
46		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
47	44, 45, 46	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
48	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 ∈ ℝ)
49	45	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
50		readdcl 10019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
51	44, 49, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
52	48, 51	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ↔ ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆))
53	47, 52	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
54	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
55	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
56	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
57		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ⊆ 𝑈
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
59	57, 58	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ 𝑈)
60	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)
61	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
62	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ∈ ℝ)
63		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝐵 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
64	18, 30, 41, 28, 63	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
65	64, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑆)
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝑆)
67	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 < (𝑆 + (𝑟 / 2)))
68	62, 60, 67	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
69	61, 62, 60, 66, 68	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)))
70	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
71		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ⊆ (-∞(,)𝐶)
72	71, 58	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶))
73		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (-∞ < (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶))
74	73	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (-∞(,)𝐶) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) < 𝐶)
76	60, 70, 75	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)
77		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
78	61, 70, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝐶)))
79	60, 69, 76, 78	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
80	59, 79	elind 3798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
81		suprub 10984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
82	54, 55, 56, 80, 81	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
83	82, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ≤ 𝑆)
84	53, 83	mtand 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
86	85	remetdval 22592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
87	51, 48, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)))
88	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑆 ∈ ℂ)
89	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
90	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℂ)
91	88, 90	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆) = (𝑟 / 2))
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (abs‘((𝑆 + (𝑟 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑟 / 2)))
93	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺)
94		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ)
95		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑟 / 2))
96	94, 95	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 / 2) ∈ ℝ⁺ → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
97	93, 96	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (abs‘(𝑟 / 2)) = (𝑟 / 2))
98	87, 92, 97	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) = (𝑟 / 2))
99		rphalflt 11860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → (𝑟 / 2) < 𝑟)
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑟 / 2) < 𝑟)
101	98, 100	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟)
102	85	rexmet 22594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
104		rpxr 11840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
106		elbl3 22197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ ℝ)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
107	103, 105, 48, 51, 106	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ↔ ((𝑆 + (𝑟 / 2))((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑆) < 𝑟))
108	101, 107	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟))
109		ssel 3597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ((𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
110	108, 109	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → (𝑆 + (𝑟 / 2)) ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
111	84, 110	mtod 189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
112	111	nrexdv 3001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
113	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ)
114		mnflt 11957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ ℝ → -∞ < 𝑆)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → -∞ < 𝑆)
116		suprleub 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶))
117	18, 30, 41, 23, 116	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝐶))
118	37, 117	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ 𝐶)
119	1, 118	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐶)
120	44, 23	leloed 10180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≤ 𝐶 ↔ (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶)))
121	119, 120	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝐶 ∨ 𝑆 = 𝐶))
122	121	ord 392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → 𝑆 = 𝐶))
123		elndif 3734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
124	8, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
125		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑉 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑉
126	125, 7	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
127		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
128		reconnlem2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
129	128	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
130	127, 129	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
131	126, 130	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
132	124, 131	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝑈)
133		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 = 𝐶 → (𝑆 ∈ 𝑈 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
134	133	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝐶 → (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝑈))
135	132, 134	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈))
136	122, 135	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑆 < 𝐶 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈))
137	136	con4d 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 < 𝐶))
138	137	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 < 𝐶)
139		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
140		elioo2 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
141	139, 24, 140	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
142	141	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → (𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝐶)))
143	113, 115, 138, 142	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))
144	143	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
145	144	ancld 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶))))
146		elin 3796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)))
147		reconnlem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)))
148		retop 22565	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
149		iooretop 22569	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
150		inopn 20704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
151	148, 149, 150	mp3an13 1415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)))
152		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
153	85, 152	tgioo 22599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
154	153	mopni2 22298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
155	102, 154	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)))
156	155	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
157	147, 151, 156	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
158	146, 157	syl5bir 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∈ 𝑈 ∧ 𝑆 ∈ (-∞(,)𝐶)) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
159	145, 158	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑈 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑈 ∩ (-∞(,)𝐶))))
160	112, 159	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
161		ltsubrp 11866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑆)
162	44, 161	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑆)
163		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ)
164		resubcl 10345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
165	44, 163, 164	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
166	165, 48	ltnled 10184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
167	162, 166	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))
168	85	bl2ioo 22595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
169	44, 163, 168	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
170	169	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 ↔ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉))
171	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ 𝐴)
172	2, 171	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝐴)
173	172	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ 𝐴)
174		elndif 3734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
176	128	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (ℝ ∖ 𝐴))
177		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ 𝑈
178		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
179	177, 178	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑈)
180		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉)
181	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
182		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)))
183	181, 182	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ∈ ℝ)
184	183	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ)
185		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)
186	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 ∈ ℝ)
187		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
188	187	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑟 ∈ ℝ)
189	186, 188	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ)
190	181	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
191	30	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
192	41	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
193		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
194	190, 191, 192, 178, 193	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ))
195	194, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ≤ 𝑆)
196	186, 187	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑟))
197	184, 186, 189, 195, 196	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))
198	165	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
199		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
200		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
201		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
202	199, 200, 201	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑆 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
203	198, 189, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → (𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤 ∧ 𝑤 < (𝑆 + 𝑟))))
204	184, 185, 197, 203	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)))
205	180, 204	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝑉)
206	179, 205	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ 𝑉))
207	176, 206	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ∧ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴))
208	207	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ((𝑆 − 𝑟) < 𝑤 → 𝑤 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
209	175, 208	mtod 189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → ¬ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤)
210	165	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
211	183, 210	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ¬ (𝑆 − 𝑟) < 𝑤))
212	209, 211	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))
213	212	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟))
214	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ)
215	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅)
216	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧)
217	165	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ)
218		suprleub 10989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ⊆ ℝ ∧ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)) ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ 𝑧) ∧ (𝑆 − 𝑟) ∈ ℝ) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
219	214, 215, 216, 217, 218	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → (sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶))𝑤 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
220	213, 219	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → sup((𝑈 ∩ (𝐵[,]𝐶)), ℝ, < ) ≤ (𝑆 − 𝑟))
221	1, 220	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ ((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉) → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟))
222	221	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (((𝑆 − 𝑟)(,)(𝑆 + 𝑟)) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
223	170, 222	sylbid 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ((𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉 → 𝑆 ≤ (𝑆 − 𝑟)))
224	167, 223	mtod 189	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ¬ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
225	224	nrexdv 3001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
226		reconnlem2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)))
227	153	mopni2 22298	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
228	102, 227	mp3an1 1411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉)
229	228	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
230	226, 229	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑉 → ∃𝑟 ∈ ℝ⁺ (𝑆(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝑉))
231	225, 230	mtod 189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑉)
232		ioran 511	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉) ↔ (¬ 𝑆 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑉))
233	160, 231, 232	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉))
234		elun 3753	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉) ↔ (𝑆 ∈ 𝑈 ∨ 𝑆 ∈ 𝑉))
235	233, 234	sylnibr 319	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉))
236		elicc2 12238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶)))
237	21, 23, 236	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐶)))
238	44, 65, 119, 237	mpbir3and 1245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐵[,]𝐶))
239	15, 238	sseldd 3604	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
240		ssel 3597	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)))
241	239, 240	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉) → 𝑆 ∈ (𝑈 ∪ 𝑉)))
242	235, 241	mtod 189	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 ∖ cdif 3571 ∪ cun 3572 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 class class class wbr 4653 × cxp 5112 ran crn 5115 ↾ cres 5116 ∘ ccom 5118 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 supcsup 8346 ℝcr 9935 + caddc 9939 -∞cmnf 10072 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 / cdiv 10684 2c2 11070 ℝ⁺crp 11832 (,)cioo 12175 [,]cicc 12178 abscabs 13974 topGenctg 16098 ∞Metcxmt 19731 ballcbl 19733 MetOpencmopn 19736 Topctop 20698

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-icc 12182 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750

This theorem is referenced by: reconn 22631

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