Theorem rhmmul 18727

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rhmmul.n	⊢ × = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 18722	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4		rhmmul.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5	1, 4	mgpbas 18495	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6		rhmmul.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 6	mgpplusg 18493	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8		rhmmul.n	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑆)
9	2, 8	mgpplusg 18493	. . 3 ⊢ × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
10	5, 7, 9	mhmlin 17342	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))
11	3, 10	syl3an1 1359	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   MndHom cmhm 17333  mulGrpcmgp 18489   RingHom crh 18712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mhm 17335  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-rnghom 18715

This theorem is referenced by:  srngmul  18858  evl1muld  19707  evl1scvarpw  19727  domnchr  19880  znfld  19909  znidomb  19910  znunit  19912  znrrg  19914  mat2pmatmul  20536  mat2pmatlin  20540  cayhamlem4  20693  ply1rem  23923  fta1glem2  23926  fta1blem  23928  dchrzrhmul  24971  lgsdchr  25080  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  rhmdvdsr  29818  rhmopp  29819  rhmdvd  29821  rhmunitinv  29822  kerunit  29823  mdetpmtr1  29889  mdetpmtr12  29891  qqhghm  30032  qqhrhm  30033