Theorem sge0xaddlem1 40650

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xaddlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xaddlem1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.rp	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
sge0xaddlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐴)
sge0xaddlem1.ufi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐴)
sge0xaddlem1.wfi	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.ltb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.ltc	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.xr	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
sge0xaddlem1.sb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem1.sc	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0xaddlem1	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐸(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0xaddlem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		sge0xaddlem1.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4	1, 2, 3	sge0revalmpt 40595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
5		sge0xaddlem1.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 2, 5	sge0revalmpt 40595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
7	4, 6	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
8	4	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
9		sge0xaddlem1.sb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
10	8, 9	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11		sge0xaddlem1.sc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
12	6, 11	eqeltrrd 2702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 10069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 10089	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
15	7, 14	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ∈ ℝ*)
16		elinel2 3800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
18		simpll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
19		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25	24, 3	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	18, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
27	24, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	18, 23, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
29	26, 28	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30	17, 29	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 10089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32	31	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
33		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
34	33	rnmptss 6392	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
35	32, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
36		supxrcl 12145	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
38		sge0xaddlem1.rp	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 11873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
40	37, 39	xaddcld 12131	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41		sge0xaddlem1.ufi	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
42		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝜑)
43		sge0xaddlem1.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐴)
44	43	sselda 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝐴)
45	42, 44, 3	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
46	24, 45	sseldi 3601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	41, 46	fsumrecl 14465	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ∈ ℝ)
48	38	rpred 11872	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
49	48	rehalfcld 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 10069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
51		sge0xaddlem1.wfi	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
52	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
53		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝜑)
54		sge0xaddlem1.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐴)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑊 ⊆ 𝐴)
56		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑊)
57	55, 56	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝐴)
58	53, 57, 5	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
59	52, 58	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐶 ∈ ℝ)
60	51, 59	fsumrecl 14465	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ∈ ℝ)
61	60, 49	readdcld 10069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
62	50, 61	readdcld 10069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
63	62	rexrd 10089	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ*)
64		sge0xaddlem1.ltb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
65		sge0xaddlem1.ltc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
66	9, 11, 50, 61, 64, 65	ltadd12dd 39559	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) < ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))))
67	47	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ∈ ℂ)
68	49	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
69	60	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ∈ ℂ)
70	67, 68, 69, 68	add4d 10264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))))
71	48	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
72	71	2halvesd 11278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
73	72	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸))
74	70, 73	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸))
75	74, 63	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ*)
76		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
78	74, 62	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ)
79		ltpnf 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
81	75, 77, 80	xrltled 39486	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
82	81	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
83		oveq1 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
84	83	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
85	48	renemnfd 10091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ -∞)
86		xaddpnf2 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ 𝐸 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
87	39, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
88	87	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
89	84, 88	eqtr2d 2657	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
90	82, 89	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
91		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
92		sge0xaddlem1.xr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
94		neqne 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
95	94	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
96		ge0xrre 39758	. . . . . . 7 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
97	93, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
98	47, 60	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
99	98	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
100		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
101	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℝ)
102	41, 51	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin))
103		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ Fin)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ Fin)
105		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝜑)
106	43, 54	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ⊆ 𝐴)
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → (𝑈 ∪ 𝑊) ⊆ 𝐴)
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊))
109	107, 108	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
110	105, 109, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐵 ∈ ℝ)
111	109, 27	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ℝ)
112	110, 111	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
113	104, 112	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
114	113	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
115	104, 110	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 ∈ ℝ)
116	104, 111	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶 ∈ ℝ)
117		icossicc 12260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
118	117, 3	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
119		xrge0ge0 39563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
121	109, 120	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 0 ≤ 𝐵)
122		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊)
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊))
124	104, 110, 121, 123	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵)
125	117, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126		xrge0ge0 39563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
128	109, 127	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 0 ≤ 𝐶)
129		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊))
131	104, 111, 128, 130	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶)
132	47, 60, 115, 116, 124, 131	leadd12dd 39532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶))
133	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐵 ∈ ℂ)
134	111	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
135	104, 133, 134	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶))
136	135	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
137	132, 136	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
138	137	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
139	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
140	104, 106	elpwd 4167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ 𝒫 𝐴)
141	140, 104	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
142	113	elexd 3214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V)
143		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑈 ∪ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
144	33, 143	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∪ 𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
145	141, 142, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
147		supxrub 12154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
148	139, 146, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
149	99, 114, 100, 138, 148	letrd 10194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
150	99, 100, 101, 149	leadd1dd 10641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
151		rexadd 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
152	100, 101, 151	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
153	152	eqcomd 2628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
154	150, 153	breqtrd 4679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
155	91, 97, 154	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
156	90, 155	pm2.61dan 832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
157	74, 156	eqbrtrd 4675	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
158	15, 63, 40, 66, 157	xrltletrd 11992	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) < (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
159	15, 40, 158	xrltled 39486	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  supcsup 8346  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832   +_𝑒 cxad 11944  [,)cico 12177  [,]cicc 12178  Σcsu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  40651