Theorem sge0xaddlem1 40650

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xaddlem1.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0xaddlem1.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem1.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem1.rp	|- ( ph -> E e. RR+ )
sge0xaddlem1.u	|- ( ph -> U C_ A )
sge0xaddlem1.ufi	|- ( ph -> U e. Fin )
sge0xaddlem1.7	|- ( ph -> W C_ A )
sge0xaddlem1.wfi	|- ( ph -> W e. Fin )
sge0xaddlem1.ltb	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) )
sge0xaddlem1.ltc	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) )
sge0xaddlem1.xr	|- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0xaddlem1.sb	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
sge0xaddlem1.sc	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sge0xaddlem1	|- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   x, B   x, C   U, k, x   k, W, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   E( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem sge0xaddlem1

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ph
2		sge0xaddlem1.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
3		sge0xaddlem1.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
4	1, 2, 3	sge0revalmpt 40595	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
5		sge0xaddlem1.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
6	1, 2, 5	sge0revalmpt 40595	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
7	4, 6	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
8	4	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
9		sge0xaddlem1.sb	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
10	8, 9	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) e. RR )
11		sge0xaddlem1.sc	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
12	6, 11	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) e. RR )
13	10, 12	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR )
14	13	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR* )
15	7, 14	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) e. RR* )
16		elinel2 3800	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
18		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ph )
19		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> x C_ A )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. x )
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. A )
23	22	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> k e. A )
24		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
25	24, 3	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
26	18, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. RR )
27	24, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
28	18, 23, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> C e. RR )
29	26, 28	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ( B + C ) e. RR )
30	17, 29	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR )
31	30	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
32	31	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
33		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) )
34	33	rnmptss 6392	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
35	32, 34	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
36		supxrcl 12145	. . . 4 |- ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
37	35, 36	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
38		sge0xaddlem1.rp	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR+ )
39	38	rpxrd 11873	. . 3 |- ( ph -> E e. RR* )
40	37, 39	xaddcld 12131	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) e. RR* )
41		sge0xaddlem1.ufi	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Fin )
42		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ph )
43		sge0xaddlem1.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U C_ A )
44	43	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> k e. A )
45	42, 44, 3	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
46	24, 45	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> B e. RR )
47	41, 46	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. U B e. RR )
48	38	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
49	48	rehalfcld 11279	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
50	47, 49	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) e. RR )
51		sge0xaddlem1.wfi	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Fin )
52	24	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
53		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> ph )
54		sge0xaddlem1.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W C_ A )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> W C_ A )
56		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. W )
57	55, 56	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> k e. A )
58	53, 57, 5	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
59	52, 58	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. W ) -> C e. RR )
60	51, 59	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. W C e. RR )
61	60, 49	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) e. RR )
62	50, 61	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) + ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) ) e. RR )
63	62	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) + ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) ) e. RR* )
64		sge0xaddlem1.ltb	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) )
65		sge0xaddlem1.ltc	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) )
66	9, 11, 50, 61, 64, 65	ltadd12dd 39559	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) < ( ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) + ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) ) )
67	47	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. U B e. CC )
68	49	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. CC )
69	60	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. W C e. CC )
70	67, 68, 69, 68	add4d 10264	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) + ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) ) = ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) ) )
71	48	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. CC )
72	71	2halvesd 11278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) = E )
73	72	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) ) = ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) )
74	70, 73	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) + ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) ) = ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) )
75	74, 63	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) e. RR* )
76		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> +oo e. RR* )
78	74, 62	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) e. RR )
79		ltpnf 11954	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) e. RR -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) < +oo )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) < +oo )
81	75, 77, 80	xrltled 39486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) <_ +oo )
82	81	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) <_ +oo )
83		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) = ( +oo +e E ) )
84	83	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) = ( +oo +e E ) )
85	48	renemnfd 10091	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E =/= -oo )
86		xaddpnf2 12058	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. RR* /\ E =/= -oo ) -> ( +oo +e E ) = +oo )
87	39, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( +oo +e E ) = +oo )
88	87	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> ( +oo +e E ) = +oo )
89	84, 88	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> +oo = ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
90	82, 89	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
91		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> ph )
92		sge0xaddlem1.xr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94		neqne 2802	. . . . . . . 8 |- ( -. sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) =/= +oo )
95	94	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) =/= +oo )
96		ge0xrre 39758	. . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) =/= +oo ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR )
97	93, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR )
98	47, 60	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) e. RR )
99	98	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) e. RR )
100		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR )
101	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> E e. RR )
102	41, 51	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U e. Fin /\ W e. Fin ) )
103		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. Fin /\ W e. Fin ) -> ( U u. W ) e. Fin )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U u. W ) e. Fin )
105		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> ph )
106	43, 54	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U u. W ) C_ A )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> ( U u. W ) C_ A )
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> k e. ( U u. W ) )
109	107, 108	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> k e. A )
110	105, 109, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> B e. RR )
111	109, 27	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> C e. RR )
112	110, 111	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> ( B + C ) e. RR )
113	104, 112	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. RR )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. RR )
115	104, 110	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. ( U u. W ) B e. RR )
116	104, 111	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. ( U u. W ) C e. RR )
117		icossicc 12260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
118	117, 3	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
119		xrge0ge0 39563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
121	109, 120	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> 0 <_ B )
122		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U C_ ( U u. W )
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U C_ ( U u. W ) )
124	104, 110, 121, 123	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. U B <_ sum_ k e. ( U u. W ) B )
125	117, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
126		xrge0ge0 39563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ C )
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ C )
128	109, 127	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> 0 <_ C )
129		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- W C_ ( U u. W )
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W C_ ( U u. W ) )
131	104, 111, 128, 130	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. W C <_ sum_ k e. ( U u. W ) C )
132	47, 60, 115, 116, 124, 131	leadd12dd 39532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) <_ ( sum_ k e. ( U u. W ) B + sum_ k e. ( U u. W ) C ) )
133	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> B e. CC )
134	111	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( U u. W ) ) -> C e. CC )
135	104, 133, 134	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) = ( sum_ k e. ( U u. W ) B + sum_ k e. ( U u. W ) C ) )
136	135	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( U u. W ) B + sum_ k e. ( U u. W ) C ) = sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) )
137	132, 136	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) <_ sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) <_ sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) )
139	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
140	104, 106	elpwd 4167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U u. W ) e. ~P A )
141	140, 104	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U u. W ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
142	113	elexd 3214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. _V )
143		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( U u. W ) -> sum_ k e. x ( B + C ) = sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) )
144	33, 143	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U u. W ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. _V ) -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) )
145	141, 142, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) )
147		supxrub 12154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* /\ sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) e. ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) ) -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
148	139, 146, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> sum_ k e. ( U u. W ) ( B + C ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
149	99, 114, 100, 138, 148	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
150	99, 100, 101, 149	leadd1dd 10641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) + E ) )
151		rexadd 12063	. . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) + E ) )
152	100, 101, 151	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) + E ) )
153	152	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) + E ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
154	150, 153	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR ) -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
155	91, 97, 154	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = +oo ) -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
156	90, 155	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + sum_ k e. W C ) + E ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
157	74, 156	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. U B + ( E / 2 ) ) + ( sum_ k e. W C + ( E / 2 ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
158	15, 63, 40, 66, 157	xrltletrd 11992	. 2 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) < ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )
159	15, 40, 158	xrltled 39486	1 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  40651