Theorem subfacval3 31171

Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacval3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		derang.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3		subfac.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
4	2, 3	subfacf 31157	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
5	4	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 11480	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ)
8	7	zred 11482	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℝ)
9		faccl 13070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
11	10	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12		epr 14936	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rerpdivcl 11861	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15		halfre 11246	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
16		readdcl 10019	. . . . 5 ⊢ ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 694	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18		elnn1uz2 11765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20		fac1 13064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (!‘1) = 1
21	19, 20	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = (𝑆‘1))
24	2, 3	subfac1 31160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆‘1) = 0
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑆‘𝑁) = 0)
26	22, 25	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ+
29		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / e) ∈ ℝ
31	30	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / e) ∈ ℂ
32	31	subid1i 10353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) − 0) = (1 / e)
33	26, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = (1 / e))
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
36	28, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ (1 / e)
37		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
38	30, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
39	34, 38	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (1 / e))
40		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
41	40	simpli 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < e
42		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		ere 14819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ
44		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
45		epos 14935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < e
46	42, 43, 44, 45	ltrecii 10940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
47	41, 46	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / e) < (1 / 2)
48	39, 47	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
49		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
50	14, 8	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
52	49, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
53	52	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) ∈ ℝ)
54	49	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
55	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
56	2, 3	subfaclim 31170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
57	49, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))
58		eluzle 11700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61		lerec 10906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
62	42, 44, 61	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
63	59, 60, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
64	49, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
65	58, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
66	53, 54, 55, 57, 65	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
67	48, 66	jaoi 394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
68	18, 67	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2))
69	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
70	14, 8, 69	absdifltd 14172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))))
71	68, 70	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2))))
72	71	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
73	8, 69, 14	ltsubaddd 10623	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
74	72, 73	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
75	8, 17, 74	ltled 10185	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76		readdcl 10019	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
77	8, 15, 76	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
78	71	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)))
79	14, 77, 69, 78	ltadd1dd 10638	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
80	8	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℂ)
81	69	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
82	80, 81, 81	addassd 10062	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
84		2halves 11260	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
86	85	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆‘𝑁) + 1)
87	82, 86	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆‘𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆‘𝑁) + 1))
88	79, 87	breqtrd 4679	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))
89		flbi 12617	. . . 4 ⊢ (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
90	17, 7, 89	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁) ↔ ((𝑆‘𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆‘𝑁) + 1))))
91	75, 88, 90	mpbir2and 957	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆‘𝑁))
92	91	eqcomd 2628	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ...cfz 12326  ⌊cfl 12591  !cfa 13060  #chash 13117  abscabs 13974  eceu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799

This theorem is referenced by:  derangfmla  31172