Theorem subfacval3 31171

Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression |_ ` ( x + 1 / 2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
subfac.n	|- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
subfacval3	|- ( N e. NN -> ( S ` N ) = ( |_ ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, n, x, y, N   D, n   S, n, x, y

Allowed substitution hints:   D( x, y, f)   S( f)

Proof of Theorem subfacval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11299	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		derang.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
3		subfac.n	. . . . . . . . 9 |- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )
4	2, 3	subfacf 31157	. . . . . . . 8 |- S : NN0 --> NN0
5	4	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( S ` N ) e. NN0 )
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) e. NN0 )
7	6	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) e. ZZ )
8	7	zred 11482	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) e. RR )
9		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
11	10	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. RR )
12		epr 14936	. . . . . 6 |- _e e. RR+
13		rerpdivcl 11861	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` N ) e. RR /\ _e e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) / _e ) e. RR )
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / _e ) e. RR )
15		halfre 11246	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
16		readdcl 10019	. . . . 5 |- ( ( ( ( ! ` N ) / _e ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
17	14, 15, 16	sylancl 694	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
18		elnn1uz2 11765	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = 1 -> ( ! ` N ) = ( ! ` 1 ) )
20		fac1 13064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ! ` 1 ) = 1
21	19, 20	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 1 -> ( ! ` N ) = 1 )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 1 -> ( ( ! ` N ) / _e ) = ( 1 / _e ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 1 -> ( S ` N ) = ( S ` 1 ) )
24	2, 3	subfac1 31160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S ` 1 ) = 0
25	23, 24	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 1 -> ( S ` N ) = 0 )
26	22, 25	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) = ( ( 1 / _e ) - 0 ) )
27		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _e e. RR+ -> ( 1 / _e ) e. RR+ )
28	12, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / _e ) e. RR+
29		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / _e ) e. RR+ -> ( 1 / _e ) e. RR )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / _e ) e. RR
31	30	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / _e ) e. CC
32	31	subid1i 10353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / _e ) - 0 ) = ( 1 / _e )
33	26, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) = ( 1 / _e ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) = ( abs ` ( 1 / _e ) ) )
35		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / _e ) e. RR+ -> 0 <_ ( 1 / _e ) )
36	28, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ ( 1 / _e )
37		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / _e ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / _e ) ) -> ( abs ` ( 1 / _e ) ) = ( 1 / _e ) )
38	30, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` ( 1 / _e ) ) = ( 1 / _e )
39	34, 38	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) = ( 1 / _e ) )
40		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
41	40	simpli 474	. . . . . . . . . . 11 |- 2 < _e
42		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
43		ere 14819	. . . . . . . . . . . 12 |- _e e. RR
44		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
45		epos 14935	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < _e
46	42, 43, 44, 45	ltrecii 10940	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 < _e <-> ( 1 / _e ) < ( 1 / 2 ) )
47	41, 46	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / _e ) < ( 1 / 2 )
48	39, 47	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / 2 ) )
49		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
50	14, 8	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) e. RR )
51	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) e. CC )
52	49, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) e. CC )
53	52	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) e. RR )
54	49	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 / N ) e. RR )
55	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
56	2, 3	subfaclim 31170	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / N ) )
57	49, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / N ) )
58		eluzle 11700	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
59		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. RR )
60		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 0 < N )
61		lerec 10906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( 2 <_ N <-> ( 1 / N ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
62	42, 44, 61	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> ( 2 <_ N <-> ( 1 / N ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
63	59, 60, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 <_ N <-> ( 1 / N ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
64	49, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 <_ N <-> ( 1 / N ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
65	58, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 / N ) <_ ( 1 / 2 ) )
66	53, 54, 55, 57, 65	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / 2 ) )
67	48, 66	jaoi 394	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / 2 ) )
68	18, 67	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / 2 ) )
69	15	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 / 2 ) e. RR )
70	14, 8, 69	absdifltd 14172	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( abs ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) - ( S ` N ) ) ) < ( 1 / 2 ) <-> ( ( ( S ` N ) - ( 1 / 2 ) ) < ( ( ! ` N ) / _e ) /\ ( ( ! ` N ) / _e ) < ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) )
71	68, 70	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( S ` N ) - ( 1 / 2 ) ) < ( ( ! ` N ) / _e ) /\ ( ( ! ` N ) / _e ) < ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
72	71	simpld 475	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( S ` N ) - ( 1 / 2 ) ) < ( ( ! ` N ) / _e ) )
73	8, 69, 14	ltsubaddd 10623	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( S ` N ) - ( 1 / 2 ) ) < ( ( ! ` N ) / _e ) <-> ( S ` N ) < ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
74	72, 73	mpbid 222	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) < ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) )
75	8, 17, 74	ltled 10185	. . 3 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) <_ ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) )
76		readdcl 10019	. . . . . 6 |- ( ( ( S ` N ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
77	8, 15, 76	sylancl 694	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
78	71	simprd 479	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) / _e ) < ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) )
79	14, 77, 69, 78	ltadd1dd 10638	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
80	8	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) e. CC )
81	69	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 2 ) e. CC )
82	80, 81, 81	addassd 10062	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( S ` N ) + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
83		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
84		2halves 11260	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1
86	85	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( ( S ` N ) + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( S ` N ) + 1 )
87	82, 86	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( ( S ` N ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( S ` N ) + 1 ) )
88	79, 87	breqtrd 4679	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( S ` N ) + 1 ) )
89		flbi 12617	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( S ` N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( S ` N ) <-> ( ( S ` N ) <_ ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( S ` N ) + 1 ) ) ) )
90	17, 7, 89	syl2anc 693	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( |_ ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( S ` N ) <-> ( ( S ` N ) <_ ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) /\ ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) < ( ( S ` N ) + 1 ) ) ) )
91	75, 88, 90	mpbir2and 957	. 2 |- ( N e. NN -> ( |_ ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( S ` N ) )
92	91	eqcomd 2628	1 |- ( N e. NN -> ( S ` N ) = ( |_ ` ( ( ( ! ` N ) / _e ) + ( 1 / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   !cfa 13060   #chash 13117   abscabs 13974   _eceu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799

This theorem is referenced by:  derangfmla  31172