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Theorem tgcgrxfr 25413
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p |- P = ( Base ` G )
tgcgrxfr.m |- .- = ( dist ` G )
tgcgrxfr.i |- I = (Itv ` G )
tgcgrxfr.r |- .~ = (cgrG ` G )
tgcgrxfr.g |- ( ph -> G e. TarskiG )
tgcgrxfr.a |- ( ph -> A e. P )
tgcgrxfr.b |- ( ph -> B e. P )
tgcgrxfr.c |- ( ph -> C e. P )
tgcgrxfr.d |- ( ph -> D e. P )
tgcgrxfr.f |- ( ph -> F e. P )
tgcgrxfr.1 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgcgrxfr.2 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr |- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
Distinct variable groups:   A, e   B, e   C, e   D, e   e, F   e, I   P, e   .- , e   .~ , e   ph, e
Allowed substitution hint:   G( e)
Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4 |- ( ph -> A e. P )
21adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
3 tgcgrxfr.p . . . 4 |- P = ( Base ` G )
4 tgcgrxfr.m . . . 4 |- .- = ( dist ` G )
5 tgcgrxfr.i . . . 4 |- I = (Itv ` G )
6 tgcgrxfr.g . . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
76adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
8 tgcgrxfr.d . . . . 5 |- ( ph -> D e. P )
98adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10 tgcgrxfr.f . . . . 5 |- ( ph -> F e. P )
1110adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 25399 . . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. ( D I F ) )
14 tgcgrxfr.r . . . 4 |- .~ = (cgrG ` G )
15 tgcgrxfr.b . . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
1615adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
17 tgcgrxfr.c . . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
1817adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 25400 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( D .- A ) )
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 25400 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- C ) = ( A .- F ) )
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 25400 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 25411 . . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> <" A B C "> .~ <" D A F "> )
23 eleq1 2689 . . . . 5 |- ( e = A -> ( e e. ( D I F ) <-> A e. ( D I F ) ) )
24 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( e = A -> D = D )
25 id 22 . . . . . . 7 |- ( e = A -> e = A )
26 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( e = A -> F = F )
2724, 25, 26s3eqd 13609 . . . . . 6 |- ( e = A -> <" D e F "> = <" D A F "> )
2827breq2d 4665 . . . . 5 |- ( e = A -> ( <" A B C "> .~ <" D e F "> <-> <" A B C "> .~ <" D A F "> ) )
2923, 28anbi12d 747 . . . 4 |- ( e = A -> ( ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) <-> ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) )
3029rspcev 3309 . . 3 |- ( ( A e. P /\ ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
312, 13, 22, 30syl12anc 1324 . 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
326ad3antrrr 766 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> G e. TarskiG )
33 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> g e. P )
348ad3antrrr 766 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> D e. P )
351ad3antrrr 766 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> A e. P )
3615ad3antrrr 766 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> B e. P )
373, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36axtgsegcon 25363 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
386ad7antr 774 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> G e. TarskiG )
3933ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> g e. P )
4039ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g e. P )
418ad7antr 774 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. P )
42 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> e e. P )
4342ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. P )
44 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f e. P )
45 simpllr 799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
4645simpld 475 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I e ) )
47 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( g I f ) )
483, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch3 25389 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I f ) )
491ad7antr 774 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> A e. P )
5017ad7antr 774 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> C e. P )
5110ad7antr 774 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> F e. P )
52 simp-5r 809 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
5352simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D =/= g )
5453necomd 2849 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g =/= D )
553, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch 25393 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I f ) )
5652simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( F I g ) )
573, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56tgbtwncom 25383 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I F ) )
5815ad7antr 774 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. P )
59 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
6059ad7antr 774 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
6145simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- e ) = ( A .- B ) )
62 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( B .- C ) )
633, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62tgcgrextend 25380 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- f ) = ( A .- C ) )
64 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
6564ad7antr 774 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
6665eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- F ) = ( A .- C ) )
673, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66tgsegconeq 25381 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f = F )
6867oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D I f ) = ( D I F ) )
6948, 68eleqtrd 2703 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I F ) )
7061eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- B ) = ( D .- e ) )
7167oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( e .- F ) )
7262, 71eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( B .- C ) = ( e .- F ) )
733, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64tgcgrcomlr 25375 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
7473ad7antr 774 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
753, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74trgcgr 25411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> <" A B C "> .~ <" D e F "> )
7669, 75jca 554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
7732ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> G e. TarskiG )
7836ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> B e. P )
7917ad5antr 770 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> C e. P )
803, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79axtgsegcon 25363 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> E. f e. P ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) )
8176, 80r19.29a 3078 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
8281ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) -> ( ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
8382reximdva 3017 . . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> ( E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
8437, 83mpd 15 . . 3 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
856adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
8610adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> F e. P )
878adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> D e. P )
88 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
893, 4, 5, 85, 86, 87, 88tgbtwndiff 25401 . . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. g e. P ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
9084, 89r19.29a 3078 . 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
913, 1tgldimor 25397 . 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
9231, 90, 91mpjaodan 827 1 |- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117   <"cs3 13587   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  cgrGccgrg 25405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406
This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  25425  lnext  25462  midexlem  25587
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