Theorem uc1pmon1p 23911

Description: Make a unitic polynomial monic by multiplying a factor to normalize the leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pmon1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
uc1pmon1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pmon1p.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
uc1pmon1p.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
uc1pmon1p.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
uc1pmon1p.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pmon1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Proof of Theorem uc1pmon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pmon1p.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 19618	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4		uc1pmon1p.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 19655	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
9		uc1pmon1p.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
10		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11		uc1pmon1p.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 11	uc1pldg 23908	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅))
13		uc1pmon1p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	10, 13, 5	ringinvcl 18676	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅))
16	8, 15	ffvelrnd 6360	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃))
17	1, 6, 11	uc1pcl 23903	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
18	17	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
19		uc1pmon1p.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
20	6, 19	ringcl 18561	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21	3, 16, 18, 20	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
22		simpl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
23		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
24	23, 10	unitrrg 19293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
26	10, 13	unitinvcl 18674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
27	12, 26	sylan2 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Unit‘𝑅))
28	25, 27	sseldd 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅))
29	9, 1, 23, 6, 19, 4	deg1mul3 23875	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (RLReg‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
30	22, 28, 18, 29	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = (𝐷‘𝑋))
31	9, 11	uc1pdeg 23907	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0)
32	30, 31	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0)
33		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	9, 1, 33, 6	deg1nn0clb 23850	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
35	21, 34	syldan 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) ∈ ℕ0))
36	32, 35	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃))
37	30	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
38		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	1, 6, 5, 4, 19, 38	coe1sclmul 19652	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
40	22, 15, 18, 39	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋)) = ((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋)))
41	40	fveq1d 6193	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)))
42		nn0ex 11298	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ℕ0 ∈ V)
44		fvexd 6203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) ∈ V)
45		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑋) = (coe1‘𝑋)
46	45, 6, 1, 5	coe1f 19581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
47		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ ((coe1‘𝑋):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
48	18, 46, 47	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (coe1‘𝑋) Fn ℕ0)
49		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) = ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))
50	43, 44, 48, 49	ofc1 6920	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
51	31, 50	mpdan 702	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))))
52		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
53	10, 13, 38, 52	unitlinv 18677	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
54	12, 53	sylan2 491	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))(.r‘𝑅)((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋))) = (1r‘𝑅))
55	51, 54	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (((ℕ0 × {(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(coe1‘𝑋))‘(𝐷‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
56	37, 41, 55	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅))
57		uc1pmon1p.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
58	1, 6, 33, 9, 57, 52	ismon1p 23902	. 2 ⊢ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀 ↔ (((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))‘(𝐷‘((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋))) = (1r‘𝑅)))
59	21, 36, 56, 58	syl3anbrc 1246	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐴‘(𝐼‘((coe1‘𝑋)‘(𝐷‘𝑋)))) · 𝑋) ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  Unitcui 18639  inv_rcinvr 18671  RLRegcrlreg 19279  algSccascl 19311  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  Monic_1pcmn1 23885  Unic_1pcuc1p 23886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891

This theorem is referenced by:  ig1peu  23931