Theorem wwlksext2clwwlk 26924

Description: If a word represents a walk in (in a graph) and there are edges between the last vertex of the word and another vertex and between this other vertex and the first vertex of the word, then the concatenation of the word representing the walk with this other vertex represents a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlksext2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlksext2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksext2clwwlk	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksext2clwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlksext2edg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlknbp 26733	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
3		simp3 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5		s1cl 13382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		ccatcl 13359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
8	4, 6, 7	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
10		clwwlksext2edg.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
11	1, 10	wwlknp 26734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
14	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
15		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
16		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
19		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
20	19	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
21		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
26		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
27	21	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
28	27	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
29	20, 22, 25, 26, 28	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < (𝑁 + 1))
30		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 + 1)))
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
32	15, 31	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
36	35	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
39	33, 38	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
40		ccatval1 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
41	13, 14, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
42	41	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖))
43		fzonn0p1p1 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
45	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
46	45	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
47	44, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
48		ccatval1 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
49	13, 14, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
50	49	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)))
51	42, 50	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))})
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
53	52	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
54	53	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
55	54	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
56	55	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
57	56	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
60	59	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
62	61	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
63		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
64	63	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
65		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
67	62, 66	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 = ((#‘𝑊) − 1))
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
69	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
70		nn0p1gt0 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
71	70	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (𝑁 + 1))
72		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
73	72	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
74	71, 73	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (#‘𝑊))
75		hashneq0 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
76	12, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
77	74, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ≠ ∅)
78		ccatval1lsw 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
79	12, 69, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
80	68, 79	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ( lastS ‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) = (#‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
82	81	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
83	82	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
84		ccatws1ls 13410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
85	84	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
86	83, 85	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
87	80, 86	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
88	87	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
90	89	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
91	90	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
92		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 + 1) = (𝑁 + 1))
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
96	93, 95	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
97	96	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
98	97	ralsng 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
99	92, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
100	91, 99	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
101		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
102	60, 100, 101	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
103		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
104	103	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
105	104	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
107		fzosplitsn 12576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
109	108	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
110	102, 109	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
111		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
112		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑍 ∈ 𝑉)
113		ccatws1len 13398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
114	111, 112, 113	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) + 1) − 1))
116		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
117	116	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
118		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℂ
119		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
120		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
121	119, 120	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
122	63, 118, 121	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
123	117, 122	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
125	124	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
126	125	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
127	126	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
128	127	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
129	115, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 + 1))
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
131	130	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
132	110, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
133	132	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
134	11, 133	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
135	134	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
136	135	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
137	136	adantrd 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
138	137	imp 445	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
139		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
140		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ 𝑉)
141		lswccats1 13411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
142	139, 140, 141	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
143	142	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)))
144	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
145	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
146	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑁 + 1))
147	72	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
148	146, 147	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (#‘𝑊))
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (#‘𝑊))
150		ccatfv0 13367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
151	150	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
152	144, 145, 149, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
153	143, 152	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
154	153	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
155	154	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
156	155	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
157		wwlknbp2 26752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
158	1	wrdeqi 13328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
159	158	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
160	159	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
161	160	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
162	161	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
163	157, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
164	156, 163	impel 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)}))
165	164	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
166	165	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
167	166	biimpcd 239	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
168	167	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
169	168	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
170	9, 138, 169	3jca 1242	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
171	113	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
172	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
173		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
174	63, 173, 173	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
175		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
176	175	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
177	174, 176	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
179	172, 178	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 2))
180	171, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
181	180	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
182	163, 181	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
183	182	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
184	183	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
185	184	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
186		2nn 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
187		nn0nnaddcl 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
188	186, 187	mpan2 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
189	188	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
190	1, 10	isclwwlksnx 26889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
191	189, 190	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
192	191	ad3antrrr 766	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
193	170, 185, 192	mpbir2and 957	. . . 4 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
194	193	exp31 630	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
195	2, 194	mpancom 703	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
196	195	3impib 1262	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∪ cun 3572  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   WWalksN cwwlksn 26718   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  27235