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Theorem wwlksext2clwwlk 26924

Description: If a word represents a walk in (in a graph) and there are edges between the last vertex of the word and another vertex and between this other vertex and the first vertex of the word, then the concatenation of the word representing the walk with this other vertex represents a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlksext2edg.v	Vtx
clwwlksext2edg.e	Edg

**Assertion**
Ref	Expression
wwlksext2clwwlk	WWalksN $/\$ $/\$ lastS $/\$ ++ ClWWalksN

Proof of Theorem wwlksext2clwwlk Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlksext2edg.v	. . . 4 Vtx
2	1	wwlknbp 26733	. . 3 WWalksN $/\$ $/\$ Word
3		simp3 1063	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Word Word
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN Word
5		s1cl 13382	. . . . . . . . 9 Word
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ Word
7		ccatcl 13359	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word ++ Word
8	4, 6, 7	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ ++ Word
9	8	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ $/\$ lastS $/\$ ++ Word
10		clwwlksext2edg.e	. . . . . . . . . . . 12 Edg
11	1, 10	wwlknp 26734	. . . . . . . . . . 11 WWalksN Word $/\$ $/\$ ..^
12		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word $/\$ $/\$ $/\$ Word
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Word
14	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Word
15		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^ $/\$ $/\$
16		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
17		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
19		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
20	19	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
21		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
22	21	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
23		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
25	24	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
26		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
27	21	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
28	27	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
29	20, 22, 25, 26, 28	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
30		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ $/\$ $/\$
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ ..^
32	15, 31	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ ..^
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ ..^
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Word $/\$ ..^ ..^
36	35	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Word $/\$ ..^ ..^
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ ..^
39	33, 38	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
40		ccatval1 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ++
41	13, 14, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++
42	41	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++
43		fzonn0p1p1 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ ..^
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
45	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ ..^
46	45	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ ..^
47	44, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
48		ccatval1 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word $/\$ Word $/\$ ..^ ++
49	13, 14, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++
50	49	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++
51	42, 50	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++ ++
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++ ++
53	52	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ ++ ++
54	53	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^ ++ ++
55	54	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ ..^ ..^ ++ ++
56	55	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ ..^ $/\$ ..^ ++ ++
57	56	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^ ++ ++
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Word $/\$ $/\$ ..^ ..^ ++ ++
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ lastS Word $/\$ $/\$ ..^ ..^ ++ ++
60	59	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ++
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
62	61	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ $/\$ $/\$
63		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
64	63	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ $/\$ $/\$
65		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ $/\$ $/\$
67	62, 66	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ $/\$ $/\$
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++
69	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ $/\$ $/\$ Word
70		nn0p1gt0 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
71	70	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ $/\$ $/\$
72		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
73	72	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$ $/\$ $/\$
74	71, 73	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ $/\$ $/\$
75		hashneq0 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word
76	12, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ $/\$ $/\$
77	74, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ $/\$ $/\$
78		ccatval1lsw 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ Word $/\$ ++ lastS
79	12, 69, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ lastS
80	68, 79	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ++ ++
82	81	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ++ ++
83	82	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ ++
84		ccatws1ls 13410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ ++
85	84	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++
86	83, 85	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ $/\$ $/\$ ++
87	80, 86	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
88	87	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
90	89	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
91	90	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
92		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ++ ++
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ++ ++
96	93, 95	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ++ ++ ++ ++
97	96	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ++ ++ ++ ++
98	97	ralsng 4218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ++ ++ ++ ++
99	92, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++ ++ ++ ++
100	91, 99	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
101		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ++ ++ ..^ ++ ++ $/\$ ++ ++
102	60, 100, 101	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ++
103		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104	103	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ lastS
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS
107		fzosplitsn 12576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ..^
109	108	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ++ ..^ ++ ++
110	102, 109	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ++
111		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ ..^ Word
112		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ lastS
113		ccatws1len 13398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ ++
114	111, 112, 113	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++
116		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117	116	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
120		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
121	119, 120	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
122	63, 118, 121	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
123	117, 122	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125	124	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ lastS
126	125	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ lastS
127	126	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ lastS
128	127	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS
129	115, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ..^
131	130	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ++ ++ ..^ ++ ++
132	110, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ++ ++
133	132	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ ..^ $/\$ lastS ..^ ++ ++ ++
134	11, 133	syl 17	. . . . . . . . . 10 WWalksN $/\$ lastS ..^ ++ ++ ++
135	134	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ lastS ..^ ++ ++ ++
136	135	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ lastS ..^ ++ ++ ++
137	136	adantrd 484	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ lastS $/\$ ..^ ++ ++ ++
138	137	imp 445	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ $/\$ lastS $/\$ ..^ ++ ++ ++
139		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ Word
140		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
141		lswccats1 13411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ lastS ++
142	139, 140, 141	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++
143	142	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++
144	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word
145	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word
146	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$
147	72	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$
148	146, 147	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150		ccatfv0 13367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ ++
151	150	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ ++
152	144, 145, 149, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ++
153	143, 152	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ lastS ++ ++
154	153	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
155	154	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
156	155	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Word Word $/\$ $/\$ lastS ++ ++
157		wwlknbp2 26752	. . . . . . . . . . . . 13 WWalksN Word Vtx $/\$
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160	159	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx Word
161	160	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx Word
162	161	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ Word $/\$
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164	156, 163	impel 485	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ lastS ++ ++
165	164	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ lastS ++ ++
166	165	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ lastS ++ ++
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170	9, 138, 169	3jca 1242	. . . . 5 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ $/\$ lastS $/\$ ++ Word $/\$ ..^ ++ ++ ++ $/\$ lastS ++ ++
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193	170, 185, 192	mpbir2and 957	. . . 4 $/\$ $/\$ Word $/\$ WWalksN $/\$ $/\$ $/\$ lastS $/\$ ++ ClWWalksN
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Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

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wcel 1990

wne 2794

wral 2912

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cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

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cs1 13294 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 WWalksN cwwlksn 26718 ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: numclwwlk2lem1 27235

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