Theorem wwlksm1edg 26767

Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksm1edg	⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))

Proof of Theorem wwlksm1edg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	iswwlks 26728	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		lencl 13324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
7		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
9		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
11		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 2
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
14	6, 8, 10, 12, 13	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ (#‘𝑊))
15	5, 14	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
16		elnnnn0c 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
17	15, 16	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
18		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ)
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
20		nn0ge2m1nn 11360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
21		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
23	19, 22	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
24	4, 23	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
25		inelcm 4032	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
27		wrdfn 13319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
29		fnresdisj 6001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
31		nn0ge2m1nn0 11361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
32	10	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
33	31, 5, 32	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
34	4, 33	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
35		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
36	34, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
37		swrd0val 13421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
38	37	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
39	38	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
40	36, 39	syldan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
41	30, 40	bitr2d 269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
42	41	necon3bid 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
43	26, 42	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
44	43	3ad2antl2 1224	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
45		swrdcl 13419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
46	45	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
47	46	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
48	47	imp 445	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
49		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
50		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
52		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
55	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
56		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℝ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
57	9, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
58	57	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
60	54, 55, 59	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
61	4, 60	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
62		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
63	61, 62	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
64	9	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
66	31, 5, 65	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
67	4, 66	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
68	67, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
69		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
71	68, 70	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (ℤ≥‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
73	63, 72	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)))
74		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
76		ssralv 3666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
78	68, 69	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
81	80	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))))
82		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
84	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
85	4, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
86		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
87		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
89	85, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
90	89	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
91		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
92	83, 84, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊‘𝑥))
93	92	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘𝑥) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥))
94	4, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
95		elfzom1p1elfzo 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
96	94, 95	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
97		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
98	83, 84, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)))
100	93, 99	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
101	100	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
102	81, 101	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
103	102	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → {(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
104	103	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
105	104	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
106	105	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107	77, 106	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
108	107	expcom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
109	108	com3l 89	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
110	109	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
111	110	3imp1 1280	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
112	1, 2	iswwlks 26728	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
113	44, 48, 111, 112	syl3anbrc 1246	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
114	113	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
115	3, 114	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
116	115	imp 445	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {cpr 4179  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↾ cres 5116   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  WWalkscwwlks 26717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303  df-wwlks 26722

This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  26806