wwlksm1edg - Metamath Proof Explorer

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Theorem wwlksm1edg 26767

Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 19-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
wwlksm1edg	WWalks $/\$ substr WWalks

Proof of Theorem wwlksm1edg Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 Vtx Vtx
2		eqid 2622	. . . 4 Edg Edg
3	1, 2	iswwlks 26728	. . 3 WWalks $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg
4		lencl 13324	. . . . . . . . 9 Word Vtx
5		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
6		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
7		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
9		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
11		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
14	6, 8, 10, 12, 13	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
15	5, 14	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
16		elnnnn0c 11338	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
17	15, 16	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 $/\$
18		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . 11 ..^
19	17, 18	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
20		nn0ge2m1nn 11360	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . 11 ..^
22	20, 21	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
23	19, 22	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$ ..^
24	4, 23	sylan 488	. . . . . . . 8 Word Vtx $/\$ ..^ $/\$ ..^
25		inelcm 4032	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ ..^ ..^
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 Word Vtx $/\$ ..^ ..^
27		wrdfn 13319	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx ..^
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ ..^
29		fnresdisj 6001	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ..^ ..^
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 Word Vtx $/\$ ..^ ..^ ..^
31		nn0ge2m1nn0 11361	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
32	10	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
33	31, 5, 32	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
34	4, 33	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$
35		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
36	34, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$
37		swrd0val 13421	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ substr ..^
38	37	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ substr ..^
39	38	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ ..^ substr
40	36, 39	syldan 487	. . . . . . . . 9 Word Vtx $/\$ ..^ substr
41	30, 40	bitr2d 269	. . . . . . . 8 Word Vtx $/\$ substr ..^ ..^
42	41	necon3bid 2838	. . . . . . 7 Word Vtx $/\$ substr ..^ ..^
43	26, 42	mpbird 247	. . . . . 6 Word Vtx $/\$ substr
44	43	3ad2antl2 1224	. . . . 5 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr
45		swrdcl 13419	. . . . . . . 8 Word Vtx substr Word Vtx
46	45	a1d 25	. . . . . . 7 Word Vtx substr Word Vtx
47	46	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg substr Word Vtx
48	47	imp 445	. . . . 5 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr Word Vtx
49		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
55	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	9, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58	57	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
60	54, 55, 59	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
61	4, 60	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$
62		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
63	61, 62	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$
64	9	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
66	31, 5, 65	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67	4, 66	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$
68	67, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$
69		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ substr
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ substr
71	68, 70	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ substr
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ substr
73	63, 72	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ substr
74		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . 12 substr ..^ substr ..^
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ ..^ substr ..^
76		ssralv 3666	. . . . . . . . . . 11 ..^ substr ..^ ..^ Edg ..^ substr Edg
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ ..^ Edg ..^ substr Edg
78	68, 69	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ substr
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ substr
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ ..^ substr ..^
81	80	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ ..^ substr ..^
82		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word Vtx $/\$ Word Vtx
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Word Vtx
84	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^
85	4, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word Vtx $/\$
86		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
87		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
89	85, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word Vtx $/\$ ..^ ..^
90	89	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
91		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
92	83, 84, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
93	92	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
94	4, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word Vtx $/\$
95		elfzom1p1elfzo 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ ..^
96	94, 95	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
97		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
98	83, 84, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
100	93, 99	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr substr
101	100	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ ..^ substr substr
102	81, 101	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr
103	102	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr substr substr
104	103	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr Edg substr substr Edg
105	104	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr Edg substr substr Edg
106	105	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ ..^ substr Edg ..^ substr substr substr Edg
107	77, 106	syld 47	. . . . . . . . 9 Word Vtx $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg
108	107	expcom 451	. . . . . . . 8 Word Vtx ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg
109	108	com3l 89	. . . . . . 7 Word Vtx ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg
110	109	a1i 11	. . . . . 6 Word Vtx ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg
111	110	3imp1 1280	. . . . 5 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr substr Edg
112	1, 2	iswwlks 26728	. . . . 5 substr WWalks substr $/\$ substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg
113	44, 48, 111, 112	syl3anbrc 1246	. . . 4 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr WWalks
114	113	ex 450	. . 3 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg substr WWalks
115	3, 114	sylbi 207	. 2 WWalks substr WWalks
116	115	imp 445	1 WWalks $/\$ substr WWalks

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpr 4179

cop 4183 class class class wbr 4653

cres 5116

wfn 5883

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 substr csubstr 13295 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 WWalkscwwlks 26717

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-substr 13303 df-wwlks 26722

This theorem is referenced by: wwlksnextproplem3 26806

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