Theorem 1loopgrvd2 26399

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

Proof of Theorem 1loopgrvd2

Dummy variables a e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgruspgr.v	. . . . 5 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
2		1loopgruspgr.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
3		1loopgruspgr.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. V )
4		1loopgruspgr.i	. . . . 5 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
5	1, 2, 3, 4	1loopgruspgr 26396	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
6		uspgrushgr 26070	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ph -> G e. USHGraph )
8	3, 1	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ph -> N e. (Vtx ` G ) )
9		eqid 2622	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
10		eqid 2622	. . . 4 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
11		eqid 2622	. . . 4 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
12	9, 10, 11	vtxdushgrfvedg 26386	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. (Vtx ` G ) ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = ( ( # ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) +e ( # ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) )
13	7, 8, 12	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = ( ( # ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) +e ( # ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) )
14		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { N } e. _V
15		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( a = { N } -> { a } = { { N } } )
16	15	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( a = { N } -> ( { { N } } = { a } <-> { { N } } = { { N } } ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { { N } } = { { N } }
18	14, 16, 17	ceqsexv2d 3243	. . . . . . 7 |- E. a { { N } } = { a }
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a { { N } } = { a } )
20		snidg 4206	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. V -> N e. { N } )
21	3, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. { N } )
22	21	iftrued 4094	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } } )
23	22	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } ) )
24	23	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } ) )
25	19, 24	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
26	1, 2, 3, 4	1loopgredg 26397	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Edg ` G ) = { { N } } )
27	26	rabeqdv 3194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { e e. { { N } } | N e. e } )
28		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( e = { N } -> ( N e. e <-> N e. { N } ) )
29	28	rabsnif 4258	. . . . . . . 8 |- { e e. { { N } } | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) )
30	27, 29	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) )
31	30	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
32	31	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
33	25, 32	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
34		fvex 6201	. . . . . 6 |- (Edg ` G ) e. _V
35	34	rabex 4813	. . . . 5 |- { e e. (Edg ` G ) | N e. e } e. _V
36		hash1snb 13207	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } e. _V -> ( ( # ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } ) )
37	35, 36	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( # ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
38	33, 37	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> ( # ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 )
39		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- { N } = { N }
40	39	iftruei 4093	. . . . . . . 8 |- if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } }
41	40	eqeq1i 2627	. . . . . . 7 |- ( if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } )
42	41	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } )
43	19, 42	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
44	26	rabeqdv 3194	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { e e. { { N } } | e = { N } } )
45		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( e = { N } -> ( e = { N } <-> { N } = { N } ) )
46	45	rabsnif 4258	. . . . . . . 8 |- { e e. { { N } } | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) )
47	44, 46	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) )
48	47	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
49	48	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
50	43, 49	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
51	34	rabex 4813	. . . . 5 |- { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } e. _V
52		hash1snb 13207	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } e. _V -> ( ( # ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( # ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
54	50, 53	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> ( # ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 )
55	38, 54	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) +e ( # ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) = ( 1 +e 1 ) )
56		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
57		rexadd 12063	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 1 +e 1 ) = ( 1 + 1 ) )
58	56, 56, 57	mp2an 708	. . . 4 |- ( 1 +e 1 ) = ( 1 + 1 )
59		1p1e2 11134	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) = 2
60	58, 59	eqtri 2644	. . 3 |- ( 1 +e 1 ) = 2
61	60	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( 1 +e 1 ) = 2 )
62	13, 55, 61	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   2c2 11070   +ecxad 11944   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   USHGraph cushgr 25952   USPGraph cuspgr 26043  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954  df-uspgr 26045  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  26416  eupth2lem3lem3  27090