Theorem isnzr2 19263

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	|- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3	1, 2	isnzr 19259	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
4		isnzr2.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` R )
5	4, 1	ringidcl 18568	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
7	4, 2	ring0cl 18569	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. B )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. B )
9		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
10		df-ne 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
11		neeq1 2856	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( x =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
12	10, 11	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( -. x = y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
13		neeq2 2857	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( ( 1r ` R ) =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
14	12, 13	rspc2ev 3324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 0g ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
16	15	ex 450	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
17	4, 1, 2	ring1eq0 18590	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
18	17	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
19	18	necon3bd 2808	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
20	19	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
21	16, 20	impbid 202	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
22		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
23	4, 22	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
24		1sdom 8163	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( 1o ~< B <-> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1o ~< B <-> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
26	21, 25	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> 1o ~< B ) )
27		1onn 7719	. . . . . 6 |- 1o e. om
28		sucdom 8157	. . . . . 6 |- ( 1o e. om -> ( 1o ~< B <-> suc 1o ~<_ B ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1o ~< B <-> suc 1o ~<_ B )
30		df-2o 7561	. . . . . 6 |- 2o = suc 1o
31	30	breq1i 4660	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ B <-> suc 1o ~<_ B )
32	29, 31	bitr4i 267	. . . 4 |- ( 1o ~< B <-> 2o ~<_ B )
33	26, 32	syl6bb 276	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> 2o ~<_ B ) )
34	33	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )
35	3, 34	bitri 264	1 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Basecbs 15857   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547  NzRingcnzr 19257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-nzr 19258

This theorem is referenced by:  opprnzr  19265  znfld  19909  znidomb  19910