Theorem zmulcld 11488

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 11426	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  12630  flhalf  12631  quoremz  12654  intfracq  12658  zmodcl  12690  modmul1  12723  sqoddm1div8  13028  eirrlem  14932  modmulconst  15013  dvds2ln  15014  dvdsmod  15050  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  even2n  15066  mod2eq1n2dvds  15071  2tp1odd  15076  ltoddhalfle  15085  m1expo  15092  m1exp1  15093  modremain  15132  flodddiv4  15137  bits0e  15151  bits0o  15152  bitsp1e  15154  bitsp1o  15155  bitsmod  15158  bitscmp  15160  bitsinv1lem  15163  bitsuz  15196  bitsshft  15197  smumullem  15214  smumul  15215  bezoutlem3  15258  bezoutlem4  15259  mulgcd  15265  dvdsmulgcd  15274  bezoutr  15281  lcmgcdlem  15319  mulgcddvds  15369  rpmulgcd2  15370  coprmprod  15375  divgcdcoprm0  15379  cncongr1  15381  cncongr2  15382  exprmfct  15416  hashdvds  15480  eulerthlem1  15486  eulerthlem2  15487  prmdiv  15490  prmdiveq  15491  pcpremul  15548  pcqmul  15558  pcaddlem  15592  prmpwdvds  15608  4sqlem5  15646  4sqlem10  15651  4sqlem14  15662  mulgass  17579  mulgmodid  17581  odmod  17965  odmulgid  17971  odbezout  17975  gexdvds  17999  odadd1  18251  odadd2  18252  torsubg  18257  ablfacrp  18465  pgpfac1lem2  18474  pgpfac1lem3a  18475  pgpfac1lem3  18476  znunit  19912  znrrg  19914  dyaddisjlem  23363  elqaalem3  24076  aalioulem1  24087  aaliou3lem2  24098  aaliou3lem8  24100  dvdsmulf1o  24920  lgsdirprm  25056  lgsdir  25057  lgsdilem2  25058  lgsdi  25059  gausslemma2dlem1a  25090  gausslemma2dlem5a  25095  gausslemma2dlem5  25096  gausslemma2dlem6  25097  gausslemma2dlem7  25098  gausslemma2d  25099  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  lgsquadlem1  25105  lgsquad2lem1  25109  lgsquad3  25112  2lgslem1a1  25114  2lgslem1a2  25115  2lgslem1b  25117  2lgslem3b1  25126  2lgslem3c1  25127  2lgsoddprmlem2  25134  2sqlem3  25145  2sqlem4  25146  2sqblem  25156  ex-ind-dvds  27318  2sqmod  29648  qqhghm  30032  qqhrhm  30033  breprexplemc  30710  circlemeth  30718  dvdspw  31636  knoppndvlem2  32504  pellexlem5  37397  pellexlem6  37398  pell1234qrmulcl  37419  congmul  37534  jm2.18  37555  jm2.19lem1  37556  jm2.19lem2  37557  jm2.19lem3  37558  jm2.19lem4  37559  jm2.22  37562  jm2.23  37563  jm2.20nn  37564  jm2.25  37566  jm2.15nn0  37570  jm2.16nn0  37571  jm2.27c  37574  jm3.1lem3  37586  jm3.1  37587  expdiophlem1  37588  inductionexd  38453  sumnnodd  39862  wallispilem4  40285  stirlinglem3  40293  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  dirkertrigeqlem1  40315  dirkertrigeqlem3  40317  dirkertrigeq  40318  dirkercncflem2  40321  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  etransclem3  40454  etransclem7  40458  etransclem10  40461  etransclem25  40476  etransclem26  40477  etransclem27  40478  etransclem28  40479  etransclem35  40486  etransclem37  40488  etransclem44  40495  etransclem45  40496  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtno4prmfac  41484  2pwp1prm  41503  mod42tp1mod8  41519  lighneallem4b  41526  lighneallem4  41527  2zlidl  41934  dignn0fr  42395  dignn0flhalflem1  42409