Theorem 7rexfrabdioph 37364

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, seven variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	|- M = ( N + 1 )
rexfrabdioph.2	|- L = ( M + 1 )
rexfrabdioph.3	|- K = ( L + 1 )
rexfrabdioph.4	|- J = ( K + 1 )
rexfrabdioph.5	|- I = ( J + 1 )
rexfrabdioph.6	|- H = ( I + 1 )
rexfrabdioph.7	|- G = ( H + 1 )

Assertion

Ref	Expression
7rexfrabdioph	|- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable groups:   t, G, u, v, w, x, y, z, p, q   t, H, u, v, w, x, y, z, p, q   t, I, u, v, w, x, y, z, p, q   t, J, u, v, w, x, y, z, p, q   t, K, u, v, w, x, y, z, p, q   t, L, u, v, w, x, y, z, p, q   t, M, u, v, w, x, y, z, p, q   t, N, u, v, w, x, y, z, p, q   ph, t

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, v, u, q, p)

Proof of Theorem 7rexfrabdioph

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc2rex 37351	. . . . . . . 8 |- ( [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph <-> E. w e. NN0 E. x e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph )
2		sbc4rex 37353	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( a ` M ) / v ]. E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph <-> E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph )
3	2	2rexbii 3042	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. NN0 E. x e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph <-> E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph )
4	1, 3	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph <-> E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph )
5	4	sbcbii 3491	. . . . . 6 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph <-> [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph )
6		sbc2rex 37351	. . . . . 6 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph <-> E. w e. NN0 E. x e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph )
7		sbc4rex 37353	. . . . . . 7 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph <-> E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
8	7	2rexbii 3042	. . . . . 6 |- ( E. w e. NN0 E. x e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a ` M ) / v ]. ph <-> E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
9	5, 6, 8	3bitri 286	. . . . 5 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph <-> E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph <-> E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph ) )
11	10	rabbiia 3185	. . 3 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph }
12		rexfrabdioph.1	. . . . . . 7 |- M = ( N + 1 )
13		nn0p1nn 11332	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
14	12, 13	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> M e. NN )
15	14	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> M e. NN0 )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) -> M e. NN0 )
17		sbcrot3 37355	. . . . . . . . . . 11 |- ( [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph )
18	17	sbcbii 3491	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph )
19		sbcrot3 37355	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph )
20		sbcrot5 37356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
21	20	sbcbii 3491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
22		sbcrot5 37356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph <-> [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
23	21, 22	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
24	23	sbcbii 3491	. . . . . . . . . . 11 |- ( [. ( t ` K ) / x ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
25	24	sbcbii 3491	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
26	18, 19, 25	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
27	26	sbcbii 3491	. . . . . . . 8 |- ( [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph )
28		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( t |` ( 1 ... M ) ) -> ( a |` ( 1 ... N ) ) = ( ( t |` ( 1 ... M ) ) |` ( 1 ... N ) ) )
29	28	sbccomieg 37357	. . . . . . . . 9 |- ( [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph )
30		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... ( N + 1 ) )
31	12	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... M ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
32	30, 31	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... M )
33		resabs1 5427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... N ) C_ ( 1 ... M ) -> ( ( t |` ( 1 ... M ) ) |` ( 1 ... N ) ) = ( t |` ( 1 ... N ) ) )
34		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t |` ( 1 ... M ) ) |` ( 1 ... N ) ) = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
35	32, 33, 34	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph )
36		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- t e. _V
37	36	resex 5443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t |` ( 1 ... M ) ) e. _V
38		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( t |` ( 1 ... M ) ) -> ( a ` M ) = ( ( t |` ( 1 ... M ) ) ` M ) )
39	38	sbcco3g 3999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t |` ( 1 ... M ) ) e. _V -> ( [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
40	37, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph )
41		elfz1end 12371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN <-> M e. ( 1 ... M ) )
42	14, 41	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> M e. ( 1 ... M ) )
43		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 1 ... M ) -> ( ( t |` ( 1 ... M ) ) ` M ) = ( t ` M ) )
44		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( t |` ( 1 ... M ) ) ` M ) = ( t ` M ) -> ( [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
45	42, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
46	40, 45	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
47	46	sbcbidv 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
48	35, 47	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( [. ( ( t |` ( 1 ... M ) ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
49	29, 48	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
50	27, 49	syl5bbr 274	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph <-> [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph ) )
51	50	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } )
52	51	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` G ) <-> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) )
53	52	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` G ) )
54		rexfrabdioph.2	. . . . 5 |- L = ( M + 1 )
55		rexfrabdioph.3	. . . . 5 |- K = ( L + 1 )
56		rexfrabdioph.4	. . . . 5 |- J = ( K + 1 )
57		rexfrabdioph.5	. . . . 5 |- I = ( J + 1 )
58		rexfrabdioph.6	. . . . 5 |- H = ( I + 1 )
59		rexfrabdioph.7	. . . . 5 |- G = ( H + 1 )
60	54, 55, 56, 57, 58, 59	6rexfrabdioph 37363	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... M ) ) / a ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` M ) )
61	16, 53, 60	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. ph } e. (Dioph ` M ) )
62	11, 61	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph } e. (Dioph ` M ) )
63	12	rexfrabdioph 37359	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( a |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( a ` M ) / v ]. E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph } e. (Dioph ` N ) )
64	62, 63	syldan 487	1 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... G ) ) | [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t ` L ) / w ]. [. ( t ` K ) / x ]. [. ( t ` J ) / y ]. [. ( t ` I ) / z ]. [. ( t ` H ) / p ]. [. ( t ` G ) / q ]. ph } e. (Dioph ` G ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 E. w e. NN0 E. x e. NN0 E. y e. NN0 E. z e. NN0 E. p e. NN0 E. q e. NN0 ph } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319

This theorem is referenced by:  rmydioph  37581