Theorem ostth 25328

Description: Ostrowski's theorem, which classifies all absolute values on QQ. Any such absolute value must either be the trivial absolute value K, a constant exponent 0 < a <_ 1 times the regular absolute value, or a positive exponent times the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth	|- ( F e. A <-> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )

Distinct variable groups:   q, a, x, y   g, a, J, y   A, a, q, x, y   x, Q, y   F, a   g, q, F, y   x, F

Allowed substitution hints:   A( g)   Q( g, q, a)   J( x, q)   K( x, y, g, q, a)

Proof of Theorem ostth

Dummy variables k n p z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qrng.q	. . . . . 6 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
2		qabsabv.a	. . . . . 6 |- A = (AbsVal ` Q )
3		padic.j	. . . . . 6 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
4		ostth.k	. . . . . 6 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
5		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> F e. A )
6		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
7	6	ltnri 10146	. . . . . . . . . 10 |- -. 1 < 1
8		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 0
9	1	qrng1 25311	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 1r ` Q )
10	1	qrng0 25310	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 = ( 0g ` Q )
11	2, 9, 10	abv1z 18832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
12	8, 11	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. A -> ( F ` 1 ) = 1 )
13	12	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. A -> ( 1 < ( F ` 1 ) <-> 1 < 1 ) )
14	7, 13	mtbiri 317	. . . . . . . . 9 |- ( F e. A -> -. 1 < ( F ` 1 ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> -. 1 < ( F ` 1 ) )
16		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> 1 < ( F ` n ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
18	17	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( 1 < ( F ` n ) <-> 1 < ( F ` 1 ) ) )
19	16, 18	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> ( n = 1 -> 1 < ( F ` 1 ) ) )
20	15, 19	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> -. n = 1 )
21		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> n e. NN )
22		elnn1uz2 11765	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN <-> ( n = 1 \/ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
23	21, 22	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> ( n = 1 \/ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
24	23	ord 392	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> ( -. n = 1 -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
25	20, 24	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
26		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( log ` ( F ` n ) ) / ( log ` n ) ) = ( ( log ` ( F ` n ) ) / ( log ` n ) )
27	1, 2, 3, 4, 5, 25, 16, 26	ostth2 25326	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) )
28	27	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( F e. A -> ( E. n e. NN 1 < ( F ` n ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) ) )
29		3mix2 1231	. . . 4 |- ( E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )
30	28, 29	syl6 35	. . 3 |- ( F e. A -> ( E. n e. NN 1 < ( F ` n ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) )
31		ralnex 2992	. . . 4 |- ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) <-> -. E. n e. NN 1 < ( F ` n ) )
32		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> F e. A )
33		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
35	34	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( 1 < ( F ` n ) <-> 1 < ( F ` k ) ) )
36	35	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( -. 1 < ( F ` n ) <-> -. 1 < ( F ` k ) ) )
37	36	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) <-> A. k e. NN -. 1 < ( F ` k ) )
38	33, 37	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. k e. NN -. 1 < ( F ` k ) )
39		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. Prime )
40		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) < 1 )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- -u ( ( log ` ( F ` p ) ) / ( log ` p ) ) = -u ( ( log ` ( F ` p ) ) / ( log ` p ) )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( F ` p ) <_ ( F ` z ) , ( F ` z ) , ( F ` p ) ) = if ( ( F ` p ) <_ ( F ` z ) , ( F ` z ) , ( F ` p ) )
43	1, 2, 3, 4, 32, 38, 39, 40, 41, 42	ostth3 25327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) )
44	43	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( F ` p ) < 1 -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) )
45	44	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 -> E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) )
46	1, 2, 3	padicabvf 25320	. . . . . . . . . . 11 |- J : Prime --> A
47		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( J : Prime --> A -> J Fn Prime )
48		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = ( J ` p ) -> ( g ` y ) = ( ( J ` p ) ` y ) )
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = ( J ` p ) -> ( ( g ` y ) ^c a ) = ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) )
50	49	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( J ` p ) -> ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) )
51	50	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( J ` p ) -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) )
52	51	rexrn 6361	. . . . . . . . . . 11 |- ( J Fn Prime -> ( E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) )
53	46, 47, 52	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) )
54	53	rexbii 3041	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. a e. RR+ E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) )
55		rexcom 3099	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. RR+ E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) )
56	54, 55	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) )
57		3mix3 1232	. . . . . . . 8 |- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )
58	56, 57	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )
59	45, 58	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) )
60		ralnex 2992	. . . . . . 7 |- ( A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 <-> -. E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 )
61		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> F e. A )
62		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) )
63	62, 37	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. k e. NN -. 1 < ( F ` k ) )
64		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = k -> ( F ` p ) = ( F ` k ) )
66	65	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = k -> ( ( F ` p ) < 1 <-> ( F ` k ) < 1 ) )
67	66	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = k -> ( -. ( F ` p ) < 1 <-> -. ( F ` k ) < 1 ) )
68	67	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 <-> A. k e. Prime -. ( F ` k ) < 1 )
69	64, 68	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. k e. Prime -. ( F ` k ) < 1 )
70	1, 2, 3, 4, 61, 63, 69	ostth1 25322	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> F = K )
71	70	3mix1d 1236	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )
72	71	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) )
73	60, 72	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( -. E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) )
74	59, 73	pm2.61d 170	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )
75	74	ex 450	. . . 4 |- ( F e. A -> ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) )
76	31, 75	syl5bir 233	. . 3 |- ( F e. A -> ( -. E. n e. NN 1 < ( F ` n ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) )
77	30, 76	pm2.61d 170	. 2 |- ( F e. A -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )
78		id 22	. . . 4 |- ( F = K -> F = K )
79	1	qdrng 25309	. . . . 5 |- Q e. DivRing
80	1	qrngbas 25308	. . . . . 6 |- QQ = ( Base ` Q )
81	2, 80, 10, 4	abvtriv 18841	. . . . 5 |- ( Q e. DivRing -> K e. A )
82	79, 81	ax-mp 5	. . . 4 |- K e. A
83	78, 82	syl6eqel 2709	. . 3 |- ( F = K -> F e. A )
84	1, 2	qabsabv 25318	. . . . . 6 |- ( abs |` QQ ) e. A
85		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. QQ -> ( ( abs |` QQ ) ` y ) = ( abs ` y ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y e. QQ -> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c a ) = ( ( abs ` y ) ^c a ) )
87	86	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8 |- ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) )
88	87	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c a ) )
89	2, 80, 88	abvcxp 25304	. . . . . 6 |- ( ( ( abs |` QQ ) e. A /\ a e. ( 0 (,] 1 ) ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) e. A )
90	84, 89	mpan 706	. . . . 5 |- ( a e. ( 0 (,] 1 ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) e. A )
91		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> ( F e. A <-> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) e. A ) )
92	90, 91	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( a e. ( 0 (,] 1 ) -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> F e. A ) )
93	92	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> F e. A )
94	1, 2, 3	padicabvcxp 25321	. . . . . . 7 |- ( ( p e. Prime /\ a e. RR+ ) -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) e. A )
95	94	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( a e. RR+ /\ p e. Prime ) -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) e. A )
96		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> ( F e. A <-> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) e. A ) )
97	95, 96	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( a e. RR+ /\ p e. Prime ) -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> F e. A ) )
98	97	rexlimivv 3036	. . . 4 |- ( E. a e. RR+ E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> F e. A )
99	54, 98	sylbi 207	. . 3 |- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) -> F e. A )
100	83, 93, 99	3jaoi 1391	. 2 |- ( ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) -> F e. A )
101	77, 100	impbii 199	1 |- ( F e. A <-> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   RR+crp 11832   (,]cioc 12176   ^cexp 12860   abscabs 13974   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   ↾_s cress 15858   DivRingcdr 18747  AbsValcabv 18816  ℂ_fldccnfld 19746   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

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