Theorem drngring 18754

Description: A division ring is a ring. (Contributed by NM, 8-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
drngring	|- ( R e. DivRing -> R e. Ring )

Proof of Theorem drngring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2622	. . 3 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
4	1, 2, 3	isdrng 18751	. 2 |- ( R e. DivRing <-> ( R e. Ring /\ (Unit ` R ) = ( ( Base ` R ) \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
5	4	simplbi 476	1 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  Unitcui 18639   DivRingcdr 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-drng 18749

This theorem is referenced by:  drnggrp  18755  drngid  18761  drngunz  18762  drnginvrcl  18764  drnginvrn0  18765  drnginvrl  18766  drnginvrr  18767  drngmul0or  18768  abvtriv  18841  rlmlvec  19206  drngnidl  19229  drnglpir  19253  drngnzr  19262  drngdomn  19303  qsssubdrg  19805  frlmphllem  20119  frlmphl  20120  cvsdivcl  22933  qcvs  22947  cphsubrglem  22977  rrxcph  23180  drnguc1p  23930  ig1peu  23931  ig1pcl  23935  ig1pdvds  23936  ig1prsp  23937  ply1lpir  23938  padicabv  25319  ofldchr  29814  reofld  29840  rearchi  29842  xrge0slmod  29844  zrhunitpreima  30022  elzrhunit  30023  qqhval2lem  30025  qqh0  30028  qqh1  30029  qqhf  30030  qqhghm  30032  qqhrhm  30033  qqhnm  30034  qqhucn  30036  zrhre  30063  qqhre  30064  lindsdom  33403  lindsenlbs  33404  matunitlindflem1  33405  matunitlindflem2  33406  matunitlindf  33407  dvalveclem  36314  dvhlveclem  36397  hlhilsrnglem  37245  sdrgacs  37771  cntzsdrg  37772  drhmsubc  42080  drngcat  42081  drhmsubcALTV  42098  drngcatALTV  42099  aacllem  42547