Theorem alephval2 9394

Description: An alternate way to express the value of the aleph function for nonzero arguments. Theorem 64 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 15-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephval2	|- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem alephval2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 8897	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( y e. A -> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
2	1	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( A e. On -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) )
3		alephon 8892	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) e. On
4	2, 3	jctil 560	. . . 4 |- ( A e. On -> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
5		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( aleph ` A ) -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
7	6	elrab 3363	. . . 4 |- ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( ( aleph ` A ) e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< ( aleph ` A ) ) )
8	4, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. On -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
9	8	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
10		cardsdomelir 8799	. . . . 5 |- ( z e. ( card ` ( aleph ` A ) ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
11		alephcard 8893	. . . . . 6 |- ( card ` ( aleph ` A ) ) = ( aleph ` A )
12	11	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( aleph ` A ) = ( card ` ( aleph ` A ) )
13	10, 12	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( z e. ( aleph ` A ) -> z ~< ( aleph ` A ) )
14		omex 8540	. . . . . 6 |- om e. _V
15		vex 3203	. . . . . 6 |- z e. _V
16		entri3 9381	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) )
17	14, 15, 16	mp2an 708	. . . . 5 |- ( om ~<_ z \/ z ~<_ om )
18		carddom 9376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z ) )
19	14, 15, 18	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om ~<_ z )
20		cardom 8812	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` om ) = om
21	20	sseq1i 3629	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` om ) C_ ( card ` z ) <-> om C_ ( card ` z ) )
22	19, 21	bitr3i 266	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ z <-> om C_ ( card ` z ) )
23		cardidm 8785	. . . . . . . . . 10 |- ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z )
24		cardalephex 8913	. . . . . . . . . 10 |- ( om C_ ( card ` z ) -> ( ( card ` ( card ` z ) ) = ( card ` z ) <-> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) )
25	23, 24	mpbii 223	. . . . . . . . 9 |- ( om C_ ( card ` z ) -> E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) )
26		alephord 8898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
27	26	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( x e. A <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
28	15	cardid 9369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( card ` z ) ~~ z
29		sdomen1 8104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) )
31		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( card ` z ) ~< ( aleph ` A ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) ) )
32	30, 31	syl5rbbr 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` A ) <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
33	27, 32	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A <-> z ~< ( aleph ` A ) ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( aleph ` y ) = ( aleph ` x ) )
35	34	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( ( aleph ` y ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
36	35	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> ( aleph ` x ) ~< z ) )
37		sdomirr 8097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x )
38		sdomen2 8105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( card ` z ) ~~ z -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z ) )
39	28, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< z )
40		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< ( card ` z ) <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
41	39, 40	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( ( aleph ` x ) ~< z <-> ( aleph ` x ) ~< ( aleph ` x ) ) )
42	37, 41	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. ( aleph ` x ) ~< z )
43	36, 42	nsyli 155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
44	43	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( x e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
46	33, 45	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ ( card ` z ) = ( aleph ` x ) ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
47	46	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( x e. On -> ( ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) ) )
48	47	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( E. x e. On ( card ` z ) = ( aleph ` x ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
49	25, 48	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( om C_ ( card ` z ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
50	22, 49	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
51	50	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( om ~<_ z -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
52		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. A -> A =/= (/) )
53		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
54		alephgeom 8905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On <-> om C_ ( aleph ` y ) )
55		alephon 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( aleph ` y ) e. On
56		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( aleph ` y ) e. On -> ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( om C_ ( aleph ` y ) -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
58	54, 57	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. On -> om ~<_ ( aleph ` y ) )
59		domtr 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z ~<_ om /\ om ~<_ ( aleph ` y ) ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
60	58, 59	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> z ~<_ ( aleph ` y ) )
61		domnsym 8086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z ~<_ ( aleph ` y ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z ~<_ om /\ y e. On ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
63	53, 62	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z ~<_ om /\ ( A e. On /\ y e. A ) ) -> -. ( aleph ` y ) ~< z )
64	63	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( y e. A -> -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
65	64	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
66		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z )
67	66	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) -> ( A. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
68	52, 65, 67	syl2im 40	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z ) )
69		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A -. ( aleph ` y ) ~< z <-> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
70	68, 69	syl6ib 241	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. A -> ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
71	70	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( z ~<_ om /\ A e. On ) -> ( (/) e. A -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
72	71	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( z ~<_ om -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
73	72	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
74	73	com3r 87	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~<_ om -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
75	51, 74	jaod 395	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( ( om ~<_ z \/ z ~<_ om ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) ) )
76	17, 75	mpi 20	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z ~< ( aleph ` A ) -> -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
77		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( aleph ` y ) ~< x <-> ( aleph ` y ) ~< z ) )
78	77	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x <-> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
79	78	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } <-> ( z e. On /\ A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z ) )
80	79	simprbi 480	. . . . 5 |- ( z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } -> A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z )
81	80	con3i 150	. . . 4 |- ( -. A. y e. A ( aleph ` y ) ~< z -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
82	13, 76, 81	syl56 36	. . 3 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( z e. ( aleph ` A ) -> -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
83	82	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
84		ssrab2 3687	. . 3 |- { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On
85		oneqmini 5776	. . 3 |- ( { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } C_ On -> ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. 2 |- ( ( ( aleph ` A ) e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } /\ A. z e. ( aleph ` A ) -. z e. { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )
87	9, 83, 86	syl2anc 693	1 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( aleph ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( aleph ` y ) ~< x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   Oncon0 5723   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   cardccrd 8761   alephcale 8762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-har 8463  df-card 8765  df-aleph 8766  df-ac 8939

This theorem is referenced by: (None)