Theorem alephgeom 8905

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	|- ( A e. On <-> om C_ ( aleph ` A ) )

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 8889	. . 3 |- ( aleph ` (/) ) = om
2		0ss 3972	. . . 4 |- (/) C_ A
3		0elon 5778	. . . . 5 |- (/) e. On
4		alephord3 8901	. . . . 5 |- ( ( (/) e. On /\ A e. On ) -> ( (/) C_ A <-> ( aleph ` (/) ) C_ ( aleph ` A ) ) )
5	3, 4	mpan 706	. . . 4 |- ( A e. On -> ( (/) C_ A <-> ( aleph ` (/) ) C_ ( aleph ` A ) ) )
6	2, 5	mpbii 223	. . 3 |- ( A e. On -> ( aleph ` (/) ) C_ ( aleph ` A ) )
7	1, 6	syl5eqssr 3650	. 2 |- ( A e. On -> om C_ ( aleph ` A ) )
8		peano1 7085	. . . . . 6 |- (/) e. om
9		ordom 7074	. . . . . . . 8 |- Ord om
10		ord0 5777	. . . . . . . 8 |- Ord (/)
11		ordtri1 5756	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ Ord (/) ) -> ( om C_ (/) <-> -. (/) e. om ) )
12	9, 10, 11	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( om C_ (/) <-> -. (/) e. om )
13	12	con2bii 347	. . . . . 6 |- ( (/) e. om <-> -. om C_ (/) )
14	8, 13	mpbi 220	. . . . 5 |- -. om C_ (/)
15		ndmfv 6218	. . . . . 6 |- ( -. A e. dom aleph -> ( aleph ` A ) = (/) )
16	15	sseq2d 3633	. . . . 5 |- ( -. A e. dom aleph -> ( om C_ ( aleph ` A ) <-> om C_ (/) ) )
17	14, 16	mtbiri 317	. . . 4 |- ( -. A e. dom aleph -> -. om C_ ( aleph ` A ) )
18	17	con4i 113	. . 3 |- ( om C_ ( aleph ` A ) -> A e. dom aleph )
19		alephfnon 8888	. . . 4 |- aleph Fn On
20		fndm 5990	. . . 4 |- ( aleph Fn On -> dom aleph = On )
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 |- dom aleph = On
22	18, 21	syl6eleq 2711	. 2 |- ( om C_ ( aleph ` A ) -> A e. On )
23	7, 22	impbii 199	1 |- ( A e. On <-> om C_ ( aleph ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   (/)c0 3915   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   alephcale 8762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-har 8463  df-card 8765  df-aleph 8766

This theorem is referenced by:  alephislim  8906  cardalephex  8913  isinfcard  8915  alephval3  8933  alephval2  9394  alephadd  9399  alephmul  9400  alephexp1  9401  alephsuc3  9402  alephexp2  9403  alephreg  9404  pwcfsdom  9405  cfpwsdom  9406  gchaleph  9493  gchaleph2  9494