MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alexsubALTlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem alexsubALTlem3 21853
Description: Lemma for alexsubALT 21855. If a point is covered by a collection taken from the base with no finite subcover, a set from the subbase can be added that covers the point so that the resulting collection has no finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
alexsubALTlem3 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n )
Distinct variable groups:   a, b, c, d, n, s, t, u, w, x, y, J   X, a, b, c, d, n, s, t, u, w, x, y
Proof of Theorem alexsubALTlem3
Dummy variables f m v z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrex2 2996 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) X = U. n <-> -. A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n )
21ralbii 2980 . . . . . . . . . 10 |- ( A. s e. t E. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) X = U. n <-> A. s e. t -. A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n )
3 ralnex 2992 . . . . . . . . . 10 |- ( A. s e. t -. A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n <-> -. E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n )
42, 3bitr2i 265 . . . . . . . . 9 |- ( -. E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n <-> A. s e. t E. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) X = U. n )
5 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) <-> ( n e. ~P ( u u. { s } ) /\ n e. Fin ) )
6 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ~P ( u u. { s } ) -> n C_ ( u u. { s } ) )
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ~P ( u u. { s } ) /\ n e. Fin ) -> n C_ ( u u. { s } ) )
8 uncom 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u u. { s } ) = ( { s } u. u )
97, 8syl6sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ~P ( u u. { s } ) /\ n e. Fin ) -> n C_ ( { s } u. u ) )
10 ssundif 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n C_ ( { s } u. u ) <-> ( n \ { s } ) C_ u )
119, 10sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ~P ( u u. { s } ) /\ n e. Fin ) -> ( n \ { s } ) C_ u )
12 diffi 8192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. Fin -> ( n \ { s } ) e. Fin )
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ~P ( u u. { s } ) /\ n e. Fin ) -> ( n \ { s } ) e. Fin )
1411, 13jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ~P ( u u. { s } ) /\ n e. Fin ) -> ( ( n \ { s } ) C_ u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) )
155, 14sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -> ( ( n \ { s } ) C_ u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) )
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) -> ( ( n \ { s } ) C_ u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) )
1716ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> ( ( n \ { s } ) C_ u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) )
18 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n \ { s } ) e. ( ~P u i^i Fin ) <-> ( ( n \ { s } ) e. ~P u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) )
19 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- u e. _V
2019elpw2 4828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n \ { s } ) e. ~P u <-> ( n \ { s } ) C_ u )
2120anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n \ { s } ) e. ~P u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) <-> ( ( n \ { s } ) C_ u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) )
2218, 21bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n \ { s } ) C_ u /\ ( n \ { s } ) e. Fin ) <-> ( n \ { s } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
2317, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> ( n \ { s } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
24 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> X = U. n )
25 eldif 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( n \ { s } ) <-> ( x e. n /\ -. x e. { s } ) )
2625simplbi2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. n -> ( -. x e. { s } -> x e. ( n \ { s } ) ) )
27 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) <-> ( x e. ( n \ { s } ) \/ x e. { s } ) )
28 orcom 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. { s } \/ x e. ( n \ { s } ) ) <-> ( x e. ( n \ { s } ) \/ x e. { s } ) )
2927, 28bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) <-> ( x e. { s } \/ x e. ( n \ { s } ) ) )
30 df-or 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. { s } \/ x e. ( n \ { s } ) ) <-> ( -. x e. { s } -> x e. ( n \ { s } ) ) )
3129, 30bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. x e. { s } -> x e. ( n \ { s } ) ) <-> x e. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) )
3226, 31sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. n -> x e. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) )
3332ssriv 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- n C_ ( ( n \ { s } ) u. { s } )
34 uniss 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n C_ ( ( n \ { s } ) u. { s } ) -> U. n C_ U. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) )
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. n C_ U. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) )
36 uniun 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) = ( U. ( n \ { s } ) u. U. { s } )
37 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- s e. _V
3837unisn 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. { s } = s
3938uneq2i 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U. ( n \ { s } ) u. U. { s } ) = ( U. ( n \ { s } ) u. s )
4036, 39eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. ( ( n \ { s } ) u. { s } ) = ( U. ( n \ { s } ) u. s )
4135, 40syl6sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. n C_ ( U. ( n \ { s } ) u. s ) )
4224, 41eqsstrd 3639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> X C_ ( U. ( n \ { s } ) u. s ) )
43 difss 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n \ { s } ) C_ n
4443unissi 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U. ( n \ { s } ) C_ U. n
45 sseq2 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X = U. n -> ( U. ( n \ { s } ) C_ X <-> U. ( n \ { s } ) C_ U. n ) )
4644, 45mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X = U. n -> U. ( n \ { s } ) C_ X )
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) -> U. ( n \ { s } ) C_ X )
4847ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. ( n \ { s } ) C_ X )
49 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ~P x i^i Fin ) C_ ~P x
5049sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t e. ( ~P x i^i Fin ) -> t e. ~P x )
5150elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( t e. ( ~P x i^i Fin ) -> t C_ x )
5251ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) -> t C_ x )
5352ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> t C_ x )
54 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> s e. t )
5553, 54sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> s e. x )
56 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. x -> s C_ U. x )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> s C_ U. x )
58 fibas 20781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( fi ` x ) e. TopBases
59 unitg 20771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( fi ` x ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) = U. ( fi ` x ) )
6058, 59mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) = U. ( fi ` x ) )
61 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> U. J = U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) )
62613ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> U. J = U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) )
6362ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. J = U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) )
64 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. _V
65 fiuni 8334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. _V -> U. x = U. ( fi ` x ) )
6664, 65mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. x = U. ( fi ` x ) )
6760, 63, 663eqtr4rd 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. x = U. J )
68 alexsubALT.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X = U. J
6967, 68syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> U. x = X )
7057, 69sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> s C_ X )
7148, 70unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> ( U. ( n \ { s } ) u. s ) C_ X )
7242, 71eqssd 3620 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> X = ( U. ( n \ { s } ) u. s ) )
73 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( n \ { s } ) -> U. m = U. ( n \ { s } ) )
7473uneq1d 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( n \ { s } ) -> ( U. m u. s ) = ( U. ( n \ { s } ) u. s ) )
7574eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( n \ { s } ) -> ( X = ( U. m u. s ) <-> X = ( U. ( n \ { s } ) u. s ) ) )
7675rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n \ { s } ) e. ( ~P u i^i Fin ) /\ X = ( U. ( n \ { s } ) u. s ) ) -> E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) )
7723, 72, 76syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( s e. t /\ ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) ) ) -> E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) )
7877expr 643 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ s e. t ) -> ( ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) /\ X = U. n ) -> E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) ) )
7978expd 452 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ s e. t ) -> ( n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -> ( X = U. n -> E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) ) ) )
8079rexlimdv 3030 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ s e. t ) -> ( E. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) X = U. n -> E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) ) )
8180ralimdva 2962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( A. s e. t E. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) X = U. n -> A. s e. t E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) ) )
82 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P x i^i Fin ) C_ Fin
8382sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( ~P x i^i Fin ) -> t e. Fin )
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) -> t e. Fin )
85 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( f ` s ) -> U. m = U. ( f ` s ) )
8685uneq1d 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( f ` s ) -> ( U. m u. s ) = ( U. ( f ` s ) u. s ) )
8786eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( f ` s ) -> ( X = ( U. m u. s ) <-> X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) )
8887ac6sfi 8204 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. Fin /\ A. s e. t E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) ) -> E. f ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) )
8988ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. Fin -> ( A. s e. t E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) -> E. f ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) )
9084, 89syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) -> ( A. s e. t E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) -> E. f ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) )
9190adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) -> ( A. s e. t E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) -> E. f ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) )
9291ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( A. s e. t E. m e. ( ~P u i^i Fin ) X = ( U. m u. s ) -> E. f ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) )
93 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ s e. t ) -> ( f ` s ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
94 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f ` s ) e. ( ~P u i^i Fin ) <-> ( ( f ` s ) e. ~P u /\ ( f ` s ) e. Fin ) )
95 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f ` s ) e. ~P u -> ( f ` s ) C_ u )
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( f ` s ) e. ~P u /\ ( f ` s ) e. Fin ) -> ( f ` s ) C_ u )
9794, 96sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f ` s ) e. ( ~P u i^i Fin ) -> ( f ` s ) C_ u )
9893, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ s e. t ) -> ( f ` s ) C_ u )
9998ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) -> A. s e. t ( f ` s ) C_ u )
100 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ s e. t ( f ` s ) C_ u <-> A. s e. t ( f ` s ) C_ u )
10199, 100sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) -> U_ s e. t ( f ` s ) C_ u )
102101ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> U_ s e. t ( f ` s ) C_ u )
103 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> w e. u )
104103snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> { w } C_ u )
105102, 104unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) C_ u )
106 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ~P u i^i Fin ) C_ Fin
107106, 93sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ s e. t ) -> ( f ` s ) e. Fin )
108107ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) -> A. s e. t ( f ` s ) e. Fin )
109 iunfi 8254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t e. Fin /\ A. s e. t ( f ` s ) e. Fin ) -> U_ s e. t ( f ` s ) e. Fin )
11084, 108, 109syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ f : t --> ( ~P u i^i Fin ) ) -> U_ s e. t ( f ` s ) e. Fin )
111110adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ f : t --> ( ~P u i^i Fin ) ) -> U_ s e. t ( f ` s ) e. Fin )
112111adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) /\ f : t --> ( ~P u i^i Fin ) ) -> U_ s e. t ( f ` s ) e. Fin )
113112ad2ant2lr 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> U_ s e. t ( f ` s ) e. Fin )
114 snfi 8038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { w } e. Fin
115 unfi 8227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U_ s e. t ( f ` s ) e. Fin /\ { w } e. Fin ) -> ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. Fin )
116113, 114, 115sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. Fin )
117105, 116jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) C_ u /\ ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. Fin ) )
118 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) <-> ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. ~P u /\ ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. Fin ) )
11919elpw2 4828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. ~P u <-> ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) C_ u )
120119anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. ~P u /\ ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. Fin ) <-> ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) C_ u /\ ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. Fin ) )
121118, 120bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) C_ u /\ ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. Fin ) <-> ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
122117, 121sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) )
123 ralnex 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A. s e. t -. y e. ( f ` s ) <-> -. E. s e. t y e. ( f ` s ) )
124123imbi2i 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) <-> ( v e. y -> -. E. s e. t y e. ( f ` s ) ) )
125124albii 1747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) <-> A. y ( v e. y -> -. E. s e. t y e. ( f ` s ) ) )
126 alinexa 1770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. y ( v e. y -> -. E. s e. t y e. ( f ` s ) ) <-> -. E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) )
127125, 126bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) <-> A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) )
128 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( s = z -> ( f ` s ) = ( f ` z ) )
129128unieqd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( s = z -> U. ( f ` s ) = U. ( f ` z ) )
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( s = z -> s = z )
131129, 130uneq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( s = z -> ( U. ( f ` s ) u. s ) = ( U. ( f ` z ) u. z ) )
132131eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( s = z -> ( X = ( U. ( f ` s ) u. s ) <-> X = ( U. ( f ` z ) u. z ) ) )
133132rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z e. t -> ( A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> X = ( U. ( f ` z ) u. z ) ) )
134 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( X = ( U. ( f ` z ) u. z ) -> ( v e. X <-> v e. ( U. ( f ` z ) u. z ) ) )
135134biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( X = ( U. ( f ` z ) u. z ) -> ( v e. X -> v e. ( U. ( f ` z ) u. z ) ) )
136 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( v e. ( U. ( f ` z ) u. z ) <-> ( v e. U. ( f ` z ) \/ v e. z ) )
137 eluni 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( v e. U. ( f ` z ) <-> E. w ( v e. w /\ w e. ( f ` z ) ) )
138137orbi1i 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( v e. U. ( f ` z ) \/ v e. z ) <-> ( E. w ( v e. w /\ w e. ( f ` z ) ) \/ v e. z ) )
139 df-or 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( E. w ( v e. w /\ w e. ( f ` z ) ) \/ v e. z ) <-> ( -. E. w ( v e. w /\ w e. ( f ` z ) ) -> v e. z ) )
140 alinexa 1770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( A. w ( v e. w -> -. w e. ( f ` z ) ) <-> -. E. w ( v e. w /\ w e. ( f ` z ) ) )
141140imbi1i 339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( A. w ( v e. w -> -. w e. ( f ` z ) ) -> v e. z ) <-> ( -. E. w ( v e. w /\ w e. ( f ` z ) ) -> v e. z ) )
142139, 141bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( E. w ( v e. w /\ w e. ( f ` z ) ) \/ v e. z ) <-> ( A. w ( v e. w -> -. w e. ( f ` z ) ) -> v e. z ) )
143136, 138, 1423bitri 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( v e. ( U. ( f ` z ) u. z ) <-> ( A. w ( v e. w -> -. w e. ( f ` z ) ) -> v e. z ) )
144 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( y = w -> ( v e. y <-> v e. w ) )
145 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( y = w -> ( y e. ( f ` s ) <-> w e. ( f ` s ) ) )
146145notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( y = w -> ( -. y e. ( f ` s ) <-> -. w e. ( f ` s ) ) )
147146ralbidv 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( y = w -> ( A. s e. t -. y e. ( f ` s ) <-> A. s e. t -. w e. ( f ` s ) ) )
148144, 147imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( y = w -> ( ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) <-> ( v e. w -> A. s e. t -. w e. ( f ` s ) ) ) )
149148spv 2260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> ( v e. w -> A. s e. t -. w e. ( f ` s ) ) )
150128eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( s = z -> ( w e. ( f ` s ) <-> w e. ( f ` z ) ) )
151150notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( s = z -> ( -. w e. ( f ` s ) <-> -. w e. ( f ` z ) ) )
152151rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z e. t -> ( A. s e. t -. w e. ( f ` s ) -> -. w e. ( f ` z ) ) )
153149, 152syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z e. t -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> ( v e. w -> -. w e. ( f ` z ) ) ) )
154153alrimdv 1857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. t -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> A. w ( v e. w -> -. w e. ( f ` z ) ) ) )
155154imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. t -> ( ( A. w ( v e. w -> -. w e. ( f ` z ) ) -> v e. z ) -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. z ) ) )
156143, 155syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z e. t -> ( v e. ( U. ( f ` z ) u. z ) -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. z ) ) )
157156a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z e. t -> ( v e. ( U. ( f ` z ) u. z ) -> ( w = |^| t -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. z ) ) ) )
158135, 157syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z e. t -> ( X = ( U. ( f ` z ) u. z ) -> ( v e. X -> ( w = |^| t -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. z ) ) ) ) )
159133, 158syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. t -> ( A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> ( v e. X -> ( w = |^| t -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. z ) ) ) ) )
160159com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w = |^| t -> ( A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> ( v e. X -> ( z e. t -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. z ) ) ) ) )
161160imp31 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( z e. t -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. z ) ) )
162161com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> ( z e. t -> v e. z ) ) )
163162ralrimdv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> A. z e. t v e. z ) )
164 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- v e. _V
165164elint2 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v e. |^| t <-> A. z e. t v e. z )
166163, 165syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. |^| t ) )
167 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = |^| t -> ( v e. w <-> v e. |^| t ) )
168167ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( v e. w <-> v e. |^| t ) )
169166, 168sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( A. y ( v e. y -> A. s e. t -. y e. ( f ` s ) ) -> v e. w ) )
170127, 169syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( -. E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) -> v e. w ) )
171170orrd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) /\ v e. X ) -> ( E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) \/ v e. w ) )
172171ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) -> ( v e. X -> ( E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) \/ v e. w ) ) )
173 orc 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( E. s e. t y e. ( f ` s ) -> ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) )
174173anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) -> ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
175174eximi 1762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) -> E. y ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
176 equid 1939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- w = w
177 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- w e. _V
178 equequ1 1952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = w -> ( y = w <-> w = w ) )
179144, 178anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = w -> ( ( v e. y /\ y = w ) <-> ( v e. w /\ w = w ) ) )
180177, 179spcev 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v e. w /\ w = w ) -> E. y ( v e. y /\ y = w ) )
181176, 180mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. w -> E. y ( v e. y /\ y = w ) )
182 olc 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = w -> ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) )
183182anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v e. y /\ y = w ) -> ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
184183eximi 1762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( E. y ( v e. y /\ y = w ) -> E. y ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
185181, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. w -> E. y ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
186175, 185jaoi 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) \/ v e. w ) -> E. y ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
187 eluni 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) <-> E. y ( v e. y /\ y e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) )
188 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) <-> ( y e. U_ s e. t ( f ` s ) \/ y e. { w } ) )
189 eliun 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. U_ s e. t ( f ` s ) <-> E. s e. t y e. ( f ` s ) )
190 velsn 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. { w } <-> y = w )
191189, 190orbi12i 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. U_ s e. t ( f ` s ) \/ y e. { w } ) <-> ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) )
192188, 191bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) <-> ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) )
193192anbi2i 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. y /\ y e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) <-> ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
194193exbii 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. y ( v e. y /\ y e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) <-> E. y ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) )
195187, 194bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. y ( v e. y /\ ( E. s e. t y e. ( f ` s ) \/ y = w ) ) <-> v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) )
196186, 195sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E. y ( v e. y /\ E. s e. t y e. ( f ` s ) ) \/ v e. w ) -> v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) )
197172, 196syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w = |^| t /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) -> ( v e. X -> v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) )
198197adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) -> ( v e. X -> v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) )
199198adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) -> ( v e. X -> v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) )
200199adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) -> ( v e. X -> v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) )
201200ad2ant2l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( v e. X -> v e. U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) )
202201ssrdv 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> X C_ U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) )
203 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) <-> ( v e. U_ s e. t ( f ` s ) \/ v e. { w } ) )
204 eliun 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. U_ s e. t ( f ` s ) <-> E. s e. t v e. ( f ` s ) )
205 velsn 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. { w } <-> v = w )
206204, 205orbi12i 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. U_ s e. t ( f ` s ) \/ v e. { w } ) <-> ( E. s e. t v e. ( f ` s ) \/ v = w ) )
207203, 206bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) <-> ( E. s e. t v e. ( f ` s ) \/ v = w ) )
208 nfra1 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ s A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s )
209 nfv 1843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ s v C_ X
210 rsp 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> ( s e. t -> X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) )
211 eqimss2 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> ( U. ( f ` s ) u. s ) C_ X )
212 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. ( f ` s ) -> v C_ U. ( f ` s ) )
213 ssun3 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v C_ U. ( f ` s ) -> v C_ ( U. ( f ` s ) u. s ) )
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. ( f ` s ) -> v C_ ( U. ( f ` s ) u. s ) )
215 sstr 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v C_ ( U. ( f ` s ) u. s ) /\ ( U. ( f ` s ) u. s ) C_ X ) -> v C_ X )
216215expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( U. ( f ` s ) u. s ) C_ X -> ( v C_ ( U. ( f ` s ) u. s ) -> v C_ X ) )
217211, 214, 216syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> ( v e. ( f ` s ) -> v C_ X ) )
218210, 217syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> ( s e. t -> ( v e. ( f ` s ) -> v C_ X ) ) )
219208, 209, 218rexlimd 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) -> ( E. s e. t v e. ( f ` s ) -> v C_ X ) )
220219ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( E. s e. t v e. ( f ` s ) -> v C_ X ) )
221 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u e. ~P ( fi ` x ) -> u C_ ( fi ` x ) )
222221ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) -> u C_ ( fi ` x ) )
223222ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> u C_ ( fi ` x ) )
224223, 103sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> w e. ( fi ` x ) )
225 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. ( fi ` x ) -> w C_ U. ( fi ` x ) )
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> w C_ U. ( fi ` x ) )
22758, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- U. ( topGen ` ( fi ` x ) ) = U. ( fi ` x )
22861, 227syl6req 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> U. ( fi ` x ) = U. J )
229228, 68syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) -> U. ( fi ` x ) = X )
2302293ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> U. ( fi ` x ) = X )
231230ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> U. ( fi ` x ) = X )
232226, 231sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> w C_ X )
233 sseq1 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = w -> ( v C_ X <-> w C_ X ) )
234232, 233syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( v = w -> v C_ X ) )
235220, 234jaod 395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( ( E. s e. t v e. ( f ` s ) \/ v = w ) -> v C_ X ) )
236207, 235syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> ( v e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) -> v C_ X ) )
237236ralrimiv 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> A. v e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) v C_ X )
238 unissb 4469 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) C_ X <-> A. v e. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) v C_ X )
239237, 238sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) C_ X )
240202, 239eqssd 3620 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> X = U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) )
241 unieq 4444 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) -> U. b = U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) )
242241eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) -> ( X = U. b <-> X = U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) )
243242rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) e. ( ~P u i^i Fin ) /\ X = U. ( U_ s e. t ( f ` s ) u. { w } ) ) -> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b )
244122, 240, 243syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) /\ ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) ) -> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b )
245244ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) -> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b ) )
246245exlimdv 1861 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( E. f ( f : t --> ( ~P u i^i Fin ) /\ A. s e. t X = ( U. ( f ` s ) u. s ) ) -> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b ) )
24781, 92, 2463syld 60 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( A. s e. t E. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) X = U. n -> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b ) )
2484, 247syl5bi 232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( -. E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n -> E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b ) )
249 dfrex2 2996 . . . . . . . 8 |- ( E. b e. ( ~P u i^i Fin ) X = U. b <-> -. A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b )
250248, 249syl6ib 241 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( -. E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n -> -. A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) )
251250con4d 114 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) /\ ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) /\ w e. u ) ) -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) )
252251exp32 631 . . . . 5 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) -> ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) -> ( w e. u -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) )
253252com24 95 . . . 4 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ a C_ u ) ) -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> ( w e. u -> ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) )
254253exp32 631 . . 3 |- ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) -> ( u e. ~P ( fi ` x ) -> ( a C_ u -> ( A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b -> ( w e. u -> ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) ) ) ) )
255254imp45 623 . 2 |- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> ( w e. u -> ( ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n ) ) )
256255imp31 448 1 |- ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ ( u e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ u /\ A. b e. ( ~P u i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) /\ w e. u ) /\ ( ( t e. ( ~P x i^i Fin ) /\ w = |^| t ) /\ ( y e. w /\ -. y e. U. ( x i^i u ) ) ) ) -> E. s e. t A. n e. ( ~P ( u u. { s } ) i^i Fin ) -. X = U. n )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955   ficfi 8316   topGenctg 16098   TopBasesctb 20749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-bases 20750
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  21854
  Copyright terms: Public domain W3C validator