Theorem archiexdiv 29744

Description: In an Archimedean group, given two positive elements, there exists a "divisor" n. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiexdiv.b	|- B = ( Base ` W )
archiexdiv.0	|- .0. = ( 0g ` W )
archiexdiv.i	|- .< = ( lt ` W )
archiexdiv.x	|- .x. = (.g ` W )

Assertion

Ref	Expression
archiexdiv	|- ( ( ( W e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ .0. .< X ) -> E. n e. NN Y .< ( n .x. X ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, W   n, X   n, Y   .0. , n   .< , n   .x. , n

Proof of Theorem archiexdiv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiexdiv.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
2		archiexdiv.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` W )
3		archiexdiv.i	. . . . 5 |- .< = ( lt ` W )
4		archiexdiv.x	. . . . 5 |- .x. = (.g ` W )
5	1, 2, 3, 4	isarchi3 29741	. . . 4 |- ( W e. oGrp -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) ) )
6	5	biimpa 501	. . 3 |- ( ( W e. oGrp /\ W e. Archi ) -> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) )
7	6	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( ( W e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ .0. .< X ) -> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) )
8		simp3 1063	. 2 |- ( ( ( W e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ .0. .< X ) -> .0. .< X )
9		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = X -> ( .0. .< x <-> .0. .< X ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( n .x. x ) = ( n .x. X ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( y .< ( n .x. x ) <-> y .< ( n .x. X ) ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( x = X -> ( E. n e. NN y .< ( n .x. x ) <-> E. n e. NN y .< ( n .x. X ) ) )
13	9, 12	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) <-> ( .0. .< X -> E. n e. NN y .< ( n .x. X ) ) ) )
14		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( y .< ( n .x. X ) <-> Y .< ( n .x. X ) ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( E. n e. NN y .< ( n .x. X ) <-> E. n e. NN Y .< ( n .x. X ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( .0. .< X -> E. n e. NN y .< ( n .x. X ) ) <-> ( .0. .< X -> E. n e. NN Y .< ( n .x. X ) ) ) )
17	13, 16	rspc2v 3322	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) -> ( .0. .< X -> E. n e. NN Y .< ( n .x. X ) ) ) )
18	17	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( ( W e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ .0. .< X ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .< ( n .x. x ) ) -> ( .0. .< X -> E. n e. NN Y .< ( n .x. X ) ) ) )
19	7, 8, 18	mp2d 49	1 |- ( ( ( W e. oGrp /\ W e. Archi ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ .0. .< X ) -> E. n e. NN Y .< ( n .x. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NNcn 11020   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ltcplt 16941  ._gcmg 17540  oGrpcogrp 29698  Archicarchi 29731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-inftm 29732  df-archi 29733

This theorem is referenced by: (None)