Theorem axcontlem9 25852

Description: Lemma for axcont 25856. Given the separation assumption, all values of F over A are less than or equal to all values of F over B. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcontlem9.1	|- D = { p e. ( EE ` N ) | ( U Btwn <. Z , p >. \/ p Btwn <. Z , U >. ) }
axcontlem9.2	|- F = { <. x , t >. | ( x e. D /\ ( t e. ( 0 [,) +oo ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( x ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( Z ` i ) ) + ( t x. ( U ` i ) ) ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
axcontlem9	|- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A. n e. ( F " A ) A. m e. ( F " B ) n <_ m )

Distinct variable groups:   A, m, n, p, x   B, m, n, p, x, y   t, D, x   i, F   m, F   t, F   i, p, t, x, N   m, N, n, p   t, N, x   y, N   U, i   U, m, n, p   t, U, x   y, U   i, Z   m, Z, n, p   t, Z, x   y, Z   F, p

Allowed substitution hints:   A( y, t, i)   B( t, i)   D( y, i, m, n, p)   F( x, y, n)

Proof of Theorem axcontlem9

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> N e. NN )
2		simprl1 1106	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Z e. ( EE ` N ) )
3		simplr1 1103	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ ( EE ` N ) )
4		simprl2 1107	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. A )
5	3, 4	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. ( EE ` N ) )
6		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Z =/= U )
7		axcontlem9.1	. . . . . 6 |- D = { p e. ( EE ` N ) | ( U Btwn <. Z , p >. \/ p Btwn <. Z , U >. ) }
8		axcontlem9.2	. . . . . 6 |- F = { <. x , t >. | ( x e. D /\ ( t e. ( 0 [,) +oo ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( x ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( Z ` i ) ) + ( t x. ( U ` i ) ) ) ) ) }
9	7, 8	axcontlem2 25845	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) -> F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
10	1, 2, 5, 6, 9	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
11		f1ofun 6139	. . . 4 |- ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> Fun F )
12		fvelima 6248	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ n e. ( F " A ) ) -> E. a e. A ( F ` a ) = n )
13	12	ex 450	. . . 4 |- ( Fun F -> ( n e. ( F " A ) -> E. a e. A ( F ` a ) = n ) )
14	10, 11, 13	3syl 18	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( n e. ( F " A ) -> E. a e. A ( F ` a ) = n ) )
15		fvelima 6248	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ m e. ( F " B ) ) -> E. b e. B ( F ` b ) = m )
16	15	ex 450	. . . 4 |- ( Fun F -> ( m e. ( F " B ) -> E. b e. B ( F ` b ) = m ) )
17	10, 11, 16	3syl 18	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( m e. ( F " B ) -> E. b e. B ( F ` b ) = m ) )
18		reeanv 3107	. . . 4 |- ( E. a e. A E. b e. B ( ( F ` a ) = n /\ ( F ` b ) = m ) <-> ( E. a e. A ( F ` a ) = n /\ E. b e. B ( F ` b ) = m ) )
19		simplr3 1105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. )
20		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( x Btwn <. Z , y >. <-> a Btwn <. Z , y >. ) )
21		opeq2 4403	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> <. Z , y >. = <. Z , b >. )
22	21	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( a Btwn <. Z , y >. <-> a Btwn <. Z , b >. ) )
23	20, 22	rspc2v 3322	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. -> a Btwn <. Z , b >. ) )
24	19, 23	mpan9 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a Btwn <. Z , b >. )
25		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> N e. NN )
26	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> Z e. ( EE ` N ) )
27	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> U e. ( EE ` N ) )
28	25, 26, 27	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) )
29		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> Z =/= U )
30	7	axcontlem4 25847	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ D )
31	30	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( a e. A -> a e. D ) )
32		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) )
33	7	axcontlem3 25846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ Z =/= U ) ) -> B C_ D )
34	32, 2, 4, 6, 33	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> B C_ D )
35	34	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( b e. B -> b e. D ) )
36	31, 35	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a e. D /\ b e. D ) ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( a e. D /\ b e. D ) )
38	7, 8	axcontlem7 25850	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) /\ ( a e. D /\ b e. D ) ) -> ( a Btwn <. Z , b >. <-> ( F ` a ) <_ ( F ` b ) ) )
39	28, 29, 37, 38	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( a Btwn <. Z , b >. <-> ( F ` a ) <_ ( F ` b ) ) )
40	24, 39	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( F ` a ) <_ ( F ` b ) )
41		breq12 4658	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` a ) = n /\ ( F ` b ) = m ) -> ( ( F ` a ) <_ ( F ` b ) <-> n <_ m ) )
42	40, 41	syl5ibcom 235	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = n /\ ( F ` b ) = m ) -> n <_ m ) )
43	42	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( E. a e. A E. b e. B ( ( F ` a ) = n /\ ( F ` b ) = m ) -> n <_ m ) )
44	18, 43	syl5bir 233	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( E. a e. A ( F ` a ) = n /\ E. b e. B ( F ` b ) = m ) -> n <_ m ) )
45	14, 17, 44	syl2and 500	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( n e. ( F " A ) /\ m e. ( F " B ) ) -> n <_ m ) )
46	45	ralrimivv 2970	1 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A. n e. ( F " A ) A. m e. ( F " B ) n <_ m )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   "cima 5117   Fun wfun 5882   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   [,)cico 12177   ...cfz 12326   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-ee 25771  df-btwn 25772

This theorem is referenced by:  axcontlem10  25853