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Theorem axeuclid 25843
Description: Euclid's axiom. Take an angle B A C and a point D between B and C. Now, if you extend the segment A D to a point T, then T lies between two points x and y that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclid |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )
Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, N, y   x, T, y
Proof of Theorem axeuclid
Dummy variables i p q r s u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl21 1139 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2 simpl22 1140 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
31, 2jca 554 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
4 simpl23 1141 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5 simpl3r 1117 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
64, 5jca 554 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) )
7 simprll 802 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p e. ( 0 [,] 1 ) )
8 simprlr 803 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> q e. ( 0 [,] 1 ) )
9 simp21 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
109ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> A e. ( EE ` N ) )
11 fveecn 25782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
1210, 11sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
13 simp3r 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
1413ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> T e. ( EE ` N ) )
15 fveecn 25782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
1614, 15sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
17 mulid2 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( 1 x. ( A ` i ) ) = ( A ` i ) )
18 mul02 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T ` i ) e. CC -> ( 0 x. ( T ` i ) ) = 0 )
1917, 18oveqan12d 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( ( A ` i ) + 0 ) )
20 addid1 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( A ` i ) + 0 ) = ( A ` i ) )
2219, 21eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
2312, 16, 22syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
24 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = ( 1 - 0 ) )
25 1m0e1 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 - 0 ) = 1
2624, 25syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = 0 -> ( 1 - p ) = 1 )
2726oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) = ( 1 x. ( A ` i ) ) )
28 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 0 -> ( p x. ( T ` i ) ) = ( 0 x. ( T ` i ) ) )
2927, 28oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = 0 -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) )
3029eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = 0 -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
3130ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) <-> ( ( 1 x. ( A ` i ) ) + ( 0 x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) ) )
3223, 31mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( A ` i ) )
3332eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( D ` i ) = ( A ` i ) ) )
34 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D ` i ) = ( A ` i ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) )
3533, 34syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) <-> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
3635biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
3736adantrd 484 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
3837ralimdva 2962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ p = 0 ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
3938impancom 456 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
409ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
41 simp3l 1089 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
4241ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
43 eqeefv 25783 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
4440, 42, 43syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A = D <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( A ` i ) = ( D ` i ) ) )
4539, 44sylibrd 249 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( p = 0 -> A = D ) )
4645necon3d 2815 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( A =/= D -> p =/= 0 ) )
4746impr 649 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) -> p =/= 0 )
4847anasss 679 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> p =/= 0 )
49 eqtr2 2642 . . . . . . . 8 |- ( ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
5049ralimi 2952 . . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
5150adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
5251ad2antll 765 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) )
53 axeuclidlem 25842 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) /\ p =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
543, 6, 7, 8, 48, 52, 53syl231anc 1346 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
5554exp32 631 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( p e. ( 0 [,] 1 ) /\ q e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) ) )
5655rexlimdvv 3037 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
57 brbtwn 25779 . . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
5841, 9, 13, 57syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. A , T >. <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) ) )
59 simp22 1095 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
60 simp23 1096 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
61 brbtwn 25779 . . . . 5 |- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
6241, 59, 60, 61syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( D Btwn <. B , C >. <-> E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
6358, 623anbi12d 1400 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
64 r19.26 3064 . . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
65642rexbii 3042 . . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
66 reeanv 3107 . . . . . 6 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
6765, 66bitri 264 . . . . 5 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) )
6867anbi1i 731 . . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
69 r19.41vv 3091 . . . 4 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
70 df-3an 1039 . . . 4 |- ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) )
7168, 69, 703bitr4i 292 . . 3 |- ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) <-> ( E. p e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ E. q e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) /\ A =/= D ) )
7263, 71syl6bbr 278 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) <-> E. p e. ( 0 [,] 1 ) E. q e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( D ` i ) = ( ( ( 1 - p ) x. ( A ` i ) ) + ( p x. ( T ` i ) ) ) /\ ( D ` i ) = ( ( ( 1 - q ) x. ( B ` i ) ) + ( q x. ( C ` i ) ) ) ) /\ A =/= D ) ) )
73 simpl22 1140 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
74 simpl21 1139 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
75 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
76 brbtwn 25779 . . . . . 6 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) ) )
78 simpl23 1141 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
79 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
80 brbtwn 25779 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ A e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
8178, 74, 79, 80syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( C Btwn <. A , y >. <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) ) )
82 simpl3r 1117 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. ( EE ` N ) )
83 brbtwn 25779 . . . . . 6 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
8482, 75, 79, 83syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( T Btwn <. x , y >. <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
8577, 81, 843anbi123d 1399 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
86 r19.26-3 3066 . . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
8786rexbii 3041 . . . . . 6 |- ( E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
88872rexbii 3042 . . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
89 3reeanv 3108 . . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
9088, 89bitri 264 . . . 4 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ E. s e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
9185, 90syl6bbr 278 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
92912rexbidva 3056 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
9356, 72, 923imtr4d 283 1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( D Btwn <. A , T >. /\ D Btwn <. B , C >. /\ A =/= D ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ C Btwn <. A , y >. /\ T Btwn <. x , y >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-icc 12182  df-fz 12327  df-ee 25771  df-btwn 25772
This theorem is referenced by:  eengtrkge  25866
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