Theorem axeuclidlem 25842

Description: Lemma for axeuclid 25843. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)

Assertion

Ref

Expression

axeuclidlem

|- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, r, s, u, x, y   B, i, r, s, u, x, y   C, i, r, s, u, x, y   i, N, r, s, u, x, y   P, i, r, s, u, x, y   Q, i, r, s, u, x, y   T, i, r, s, u, x, y

Proof of Theorem axeuclidlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp21 1094	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> P e. ( 0 [,] 1 ) )
2		simp22 1095	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> Q e. ( 0 [,] 1 ) )
3		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
4	3	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A e. ( EE ` N ) -> ( A ` k ) e. RR ) )
5		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
6	5	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( B e. ( EE ` N ) -> ( B ` k ) e. RR ) )
7	4, 6	anim12d 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) ) )
8		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` k ) e. RR )
9	8	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( C e. ( EE ` N ) -> ( C ` k ) e. RR ) )
10		fveere 25781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` k ) e. RR )
11	10	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( T e. ( EE ` N ) -> ( T ` k ) e. RR ) )
12	9, 11	anim12d 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) -> ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) )
13	7, 12	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) ) )
14	13	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) )
15		unitssre 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
16	15	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( 0 [,] 1 ) -> P e. RR )
17	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) -> P e. RR )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> P e. RR )
19		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
21		simplll 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( A ` k ) e. RR )
22	20, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) e. RR )
23		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
24	22, 23	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) e. RR )
25		simpr3 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> P =/= 0 )
26	24, 18, 25	redivcld 10853	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) e. RR )
27	14, 26	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) e. RR )
28	27	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) e. RR )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) e. RR )
30		eleenn 25776	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( EE ` N ) -> N e. NN )
31	30	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> N e. NN )
32		mptelee 25775	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) <-> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) e. RR ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) <-> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) e. RR ) )
34	29, 33	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) )
35	34	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) )
36		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( C ` k ) e. RR )
37	22, 36	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) e. RR )
38	37, 18, 25	redivcld 10853	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) /\ ( ( C ` k ) e. RR /\ ( T ` k ) e. RR ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) e. RR )
39	14, 38	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) e. RR )
40	39	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) e. RR )
41	40	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) e. RR )
42		mptelee 25775	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) <-> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) e. RR ) )
43	31, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) <-> A. k e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) e. RR ) )
44	41, 43	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) )
45	44	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) )
46		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
47	46	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( A e. ( EE ` N ) -> ( A ` i ) e. CC ) )
48		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
49	48	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( B e. ( EE ` N ) -> ( B ` i ) e. CC ) )
50	47, 49	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) ) )
51		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` i ) e. CC )
52	51	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( C e. ( EE ` N ) -> ( C ` i ) e. CC ) )
53		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
54	53	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( T e. ( EE ` N ) -> ( T ` i ) e. CC ) )
55	52, 54	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) -> ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) )
56	50, 55	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) ) )
57	56	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) )
58		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T ` i ) = ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) <-> ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) = ( T ` i ) )
59		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
60		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> Q e. ( 0 [,] 1 ) )
61	15	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Q e. ( 0 [,] 1 ) -> Q e. RR )
62	61	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Q e. ( 0 [,] 1 ) -> Q e. CC )
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> Q e. CC )
64		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. CC /\ Q e. CC ) -> ( 1 - Q ) e. CC )
65	59, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( 1 - Q ) e. CC )
66		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> P e. ( 0 [,] 1 ) )
67	16	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( 0 [,] 1 ) -> P e. CC )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> P e. CC )
69		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( P - 1 ) e. CC )
70	68, 59, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
71		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
72	70, 71	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) e. CC )
73	65, 72	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) e. CC )
74	63, 72	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) e. CC )
75	73, 74	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) e. CC )
76		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
77	65, 76	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) e. CC )
78		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( C ` i ) e. CC )
79	63, 78	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( Q x. ( C ` i ) ) e. CC )
80	77, 79	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) e. CC )
81	75, 80	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) e. CC )
82		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( T ` i ) e. CC )
83		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> P =/= 0 )
84	81, 68, 82, 83	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) = ( T ` i ) <-> ( P x. ( T ` i ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) ) )
85	58, 84	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( T ` i ) = ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) <-> ( P x. ( T ` i ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) ) )
86		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. CC ) -> -u ( 1 - P ) = ( P - 1 ) )
87	59, 68, 86	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> -u ( 1 - P ) = ( P - 1 ) )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( -u ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) = ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) )
89		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. CC ) -> ( 1 - P ) e. CC )
90	59, 68, 89	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( 1 - P ) e. CC )
91	90, 71	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( -u ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) = -u ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) )
92		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 e. CC /\ Q e. CC ) -> ( ( 1 - Q ) + Q ) = 1 )
93	59, 63, 92	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( 1 - Q ) + Q ) = 1 )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - Q ) + Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) = ( 1 x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) )
95	65, 63, 72	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - Q ) + Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) )
96	72	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( 1 x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) = ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) )
97	94, 95, 96	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) )
98	88, 91, 97	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> -u ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) )
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) + -u ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) ) )
100	90, 71	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) e. CC )
101	80, 100	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) + -u ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) - ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) )
102	80, 75	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) )
103	99, 101, 102	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) - ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) )
104	103	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) - ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) = ( P x. ( T ` i ) ) <-> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) = ( P x. ( T ` i ) ) ) )
105		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) = ( P x. ( T ` i ) ) <-> ( P x. ( T ` i ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) )
106	104, 105	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) - ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) = ( P x. ( T ` i ) ) <-> ( P x. ( T ` i ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) ) )
107	85, 106	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( T ` i ) = ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) <-> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) - ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) = ( P x. ( T ` i ) ) ) )
108	73, 74, 77, 79	add4d 10264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) ) + ( ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) )
109	65, 72, 76	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) ) )
110	63, 72, 78	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) = ( ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) )
111	109, 110	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) ) + ( ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) )
112	108, 111	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) ) )
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) ) / P ) )
114	72, 76	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) e. CC )
115	65, 114	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) e. CC )
116	72, 78	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) e. CC )
117	63, 116	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) e. CC )
118	115, 117, 68, 83	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) ) / P ) = ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) / P ) + ( ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) / P ) ) )
119	65, 114, 68, 83	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) / P ) = ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) )
120	63, 116, 68, 83	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) / P ) = ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) )
121	119, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) / P ) + ( ( Q x. ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) / P ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) )
122	113, 118, 121	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) )
123	122	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( T ` i ) = ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( Q x. ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) ) + ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) / P ) <-> ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
124	68, 82	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( P x. ( T ` i ) ) e. CC )
125	80, 100, 124	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) - ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) ) = ( P x. ( T ` i ) ) <-> ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) )
126	107, 123, 125	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) <-> ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
127	126	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) -> ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
128		npncan2 10308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. CC /\ P e. CC ) -> ( ( 1 - P ) + ( P - 1 ) ) = 0 )
129	59, 68, 128	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( 1 - P ) + ( P - 1 ) ) = 0 )
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - P ) + ( P - 1 ) ) x. ( A ` i ) ) = ( 0 x. ( A ` i ) ) )
131	90, 70, 71	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - P ) + ( P - 1 ) ) x. ( A ` i ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) )
132		mul02 10214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A ` i ) e. CC -> ( 0 x. ( A ` i ) ) = 0 )
133	132	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( 0 x. ( A ` i ) ) = 0 )
134	130, 131, 133	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) = 0 )
135	134	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( B ` i ) ) = ( 0 + ( B ` i ) ) )
136	100, 72, 76	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( B ` i ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) )
137	76	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( 0 + ( B ` i ) ) = ( B ` i ) )
138	135, 136, 137	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) )
139	114, 68, 83	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) = ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) )
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) ) )
141	138, 140	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) )
142	134	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( C ` i ) ) = ( 0 + ( C ` i ) ) )
143	100, 72, 78	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) ) + ( C ` i ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) )
144	78	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( 0 + ( C ` i ) ) = ( C ` i ) )
145	142, 143, 144	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) )
146	116, 68, 83	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) = ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) )
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) ) )
148	145, 147	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) )
149	141, 148	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
150	127, 149	jctild 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
151		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) <-> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
152	150, 151	syl6ibr 242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A ` i ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) /\ ( ( C ` i ) e. CC /\ ( T ` i ) e. CC ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
153	57, 152	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
154	153	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
155	154	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
156	155	3impia 1261	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
157		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) -> ( x ` i ) = ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) ` i ) )
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( A ` k ) = ( A ` i ) )
159	158	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) = ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) )
160		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( B ` k ) = ( B ` i ) )
161	159, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) = ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) )
163		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) )
164		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) e. _V
165	162, 163, 164	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) )
166	157, 165	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) )
167		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) -> ( P x. ( x ` i ) ) = ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) -> ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) )
169	168	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) <-> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) ) )
170		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) -> ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) = ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) )
171	170	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) -> ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) )
172	171	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) -> ( ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) <-> ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) )
173	169, 172	3anbi13d 1401	. . . . . . 7 |- ( ( x ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
174	166, 173	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
175	174	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( x = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
176		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( y = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) -> ( y ` i ) = ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) ` i ) )
177		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( C ` k ) = ( C ` i ) )
178	159, 177	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) = ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) )
179	178	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) )
180		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) )
181		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) e. _V
182	179, 180, 181	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) )
183	176, 182	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( y = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) )
184		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) -> ( P x. ( y ` i ) ) = ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) )
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) -> ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) )
186	185	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) -> ( ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) <-> ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
187		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) -> ( Q x. ( y ` i ) ) = ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) )
188	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) -> ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) )
189	188	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) -> ( ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) <-> ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) )
190	186, 189	3anbi23d 1402	. . . . . . 7 |- ( ( y ` i ) = ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
191	183, 190	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( y = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
192	191	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( y = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) )
193	175, 192	rspc2ev 3324	. . . 4 |- ( ( ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( B ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) /\ ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` k ) ) + ( C ` k ) ) / P ) ) e. ( EE ` N ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( B ` i ) ) / P ) ) + ( Q x. ( ( ( ( P - 1 ) x. ( A ` i ) ) + ( C ` i ) ) / P ) ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) )
194	35, 45, 156, 193	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) )
195		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( r = P -> ( 1 - r ) = ( 1 - P ) )
196	195	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( r = P -> ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) = ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) )
197		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( r = P -> ( r x. ( x ` i ) ) = ( P x. ( x ` i ) ) )
198	196, 197	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( r = P -> ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) )
199	198	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( r = P -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) <-> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) ) )
200	199	3anbi1d 1403	. . . . . 6 |- ( r = P -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
201	200	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( r = P -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
202	201	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( r = P -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
203		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( s = P -> ( 1 - s ) = ( 1 - P ) )
204	203	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( s = P -> ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) = ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) )
205		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( s = P -> ( s x. ( y ` i ) ) = ( P x. ( y ` i ) ) )
206	204, 205	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( s = P -> ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) )
207	206	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( s = P -> ( ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) <-> ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) ) )
208	207	3anbi2d 1404	. . . . . 6 |- ( s = P -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
209	208	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( s = P -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
210	209	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( s = P -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
211		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( u = Q -> ( 1 - u ) = ( 1 - Q ) )
212	211	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( u = Q -> ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) = ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) )
213		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( u = Q -> ( u x. ( y ` i ) ) = ( Q x. ( y ` i ) ) )
214	212, 213	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( u = Q -> ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) )
215	214	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( u = Q -> ( ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) <-> ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) )
216	215	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( u = Q -> ( ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
217	216	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( u = Q -> ( A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
218	217	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( u = Q -> ( E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) ) )
219	202, 210, 218	rspc3ev 3326	. . 3 |- ( ( ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( x ` i ) ) + ( Q x. ( y ` i ) ) ) ) ) -> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
220	1, 1, 2, 194, 219	syl31anc 1329	. 2 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
221		rexcom 3099	. . . . . 6 |- ( E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
222	221	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
223		rexcom 3099	. . . . 5 |- ( E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
224	222, 223	bitri 264	. . . 4 |- ( E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
225	224	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
226		rexcom 3099	. . 3 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
227		rexcom 3099	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. y e. ( EE ` N ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
228	227	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
229		rexcom 3099	. . . . . . 7 |- ( E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. y e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
230	228, 229	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. y e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
231	230	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
232		rexcom 3099	. . . . 5 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
233	231, 232	bitri 264	. . . 4 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
234	233	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. x e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
235	225, 226, 234	3bitri 286	. 2 |- ( E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) <-> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )
236	220, 235	sylib 208	1 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ T e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( P e. ( 0 [,] 1 ) /\ Q e. ( 0 [,] 1 ) /\ P =/= 0 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( ( ( 1 - P ) x. ( A ` i ) ) + ( P x. ( T ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - Q ) x. ( B ` i ) ) + ( Q x. ( C ` i ) ) ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. r e. ( 0 [,] 1 ) E. s e. ( 0 [,] 1 ) E. u e. ( 0 [,] 1 ) A. i e. ( 1 ... N ) ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - r ) x. ( A ` i ) ) + ( r x. ( x ` i ) ) ) /\ ( C ` i ) = ( ( ( 1 - s ) x. ( A ` i ) ) + ( s x. ( y ` i ) ) ) /\ ( T ` i ) = ( ( ( 1 - u ) x. ( x ` i ) ) + ( u x. ( y ` i ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   EEcee 25768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-icc 12182  df-ee 25771

This theorem is referenced by:  axeuclid  25843