Theorem baerlem3lem2 36999

Description: Lemma for baerlem3 37002. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	|- V = ( Base ` W )
baerlem3.m	|- .- = ( -g ` W )
baerlem3.o	|- .0. = ( 0g ` W )
baerlem3.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
baerlem3.n	|- N = ( LSpan ` W )
baerlem3.w	|- ( ph -> W e. LVec )
baerlem3.x	|- ( ph -> X e. V )
baerlem3.c	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
baerlem3.d	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
baerlem3.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.p	|- .+ = ( +g ` W )
baerlem3.t	|- .x. = ( .s ` W )
baerlem3.r	|- R = (Scalar ` W )
baerlem3.b	|- B = ( Base ` R )
baerlem3.a	|- .+^ = ( +g ` R )
baerlem3.l	|- L = ( -g ` R )
baerlem3.q	|- Q = ( 0g ` R )
baerlem3.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem2	|- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem2

Dummy variables a b d e j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LVec )
2		lveclmod 19106	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
4		baerlem3.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
5	4	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
6		baerlem3.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
7	6	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> Z e. V )
8		baerlem3.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		baerlem3.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
10		baerlem3.s	. . . . 5 |- .(+) = ( LSSum ` W )
11		baerlem3.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
12	8, 9, 10, 11	lspsntrim 19098	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
14	8, 9, 11, 3, 5, 7	lspsnsub 19007	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( N ` { ( Z .- Y ) } ) )
15		lmodabl 18910	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
16	3, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. Abel )
17		baerlem3.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. V )
18	8, 9, 16, 17, 5, 7	ablnnncan1 18229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) = ( Z .- Y ) )
19	18	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) } = { ( Z .- Y ) } )
20	19	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) } ) = ( N ` { ( Z .- Y ) } ) )
21	14, 20	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( N ` { ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) } ) )
22	8, 9	lmodvsubcl 18908	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) e. V )
23	3, 17, 5, 22	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. V )
24	8, 9	lmodvsubcl 18908	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Z e. V ) -> ( X .- Z ) e. V )
25	3, 17, 7, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .- Z ) e. V )
26	8, 9, 10, 11	lspsntrim 19098	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .- Y ) e. V /\ ( X .- Z ) e. V ) -> ( N ` { ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) )
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- Y ) .- ( X .- Z ) ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) )
28	21, 27	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) )
29	13, 28	ssind 3837	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) C_ ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) )
30		elin 3796	. . . . 5 |- ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) <-> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) )
31		baerlem3.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` W )
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 |- R = (Scalar ` W )
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
35	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7	lsmspsn 19084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) <-> E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
36	8, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25	lsmspsn 19084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) <-> E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) )
37	35, 36	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) ) )
38	30, 37	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) ) )
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` W )
40		simp11 1091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> ph )
41	40, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> W e. LVec )
42	40, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> X e. V )
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
47	40, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
48	40, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` R )
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( -g ` R )
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = ( 0g ` R )
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = ( invg ` R )
53		simp12l 1174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> a e. B )
54		simp12r 1175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> b e. B )
55		simp2l 1087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> d e. B )
56		simp2r 1088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> e e. B )
57		simp13 1093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
58		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) )
59	8, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem3lem1 36996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> j = ( a .x. ( Y .- Z ) ) )
60	40, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> W e. LMod )
61	8, 9	lmodvsubcl 18908	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .- Z ) e. V )
62	3, 5, 7, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y .- Z ) e. V )
63	40, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> ( Y .- Z ) e. V )
64	8, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63	lspsneli 19001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> ( a .x. ( Y .- Z ) ) e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) )
65	59, 64	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) )
66	65	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( ( d e. B /\ e e. B ) -> ( j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) ) )
67	66	rexlimdvv 3037	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) )
68	67	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) ) ) )
69	68	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) ) )
70	69	impd 447	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) )
71	38, 70	sylbid 230	. . 3 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .- Z ) } ) ) )
72	71	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) C_ ( N ` { ( Y .- Z ) } ) )
73	29, 72	eqssd 3620	1 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .- Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- Y ) } ) .(+) ( N ` { ( X .- Z ) } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  baerlem3  37002