Theorem bcpasc 13108

Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers K. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcpasc	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Proof of Theorem bcpasc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11333	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2		elfzp12 12419	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
3		nn0uz 11722	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
4	2, 3	eleq2s 2719	. . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) ) )
6		1p0e1 11133	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 0 ) = 1
7		bcn0 13097	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C 0 ) = 1 )
8		0z 11388	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
9		1z 11407	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
10		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
11	8, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
12		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
13		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( 0 - 1 ) < 0 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 - 1 ) < 0
15	14	orci 405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) )
16		bcval4 13094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 0 - 1 ) < 0 \/ N < ( 0 - 1 ) ) ) -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
17	11, 15, 16	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( 0 - 1 ) ) = 0 )
18	7, 17	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( 1 + 0 ) )
19		bcn0 13097	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 0 ) = 1 )
21	6, 18, 20	3eqtr4a 2682	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C K ) = ( N _C 0 ) )
23		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( K - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C ( 0 - 1 ) ) )
25	22, 24	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) )
26		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( K = 0 -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) )
27	25, 26	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( K = 0 -> ( ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) <-> ( ( N _C 0 ) + ( N _C ( 0 - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 0 ) ) )
28	21, 27	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K = 0 -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
29		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) )
30		0p1e1 11132	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
31	30	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
32	29, 31	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
33		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
34		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
35	33, 34	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		fzm1 12420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) )
37	36	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
38	35, 37	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) )
39		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
40		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
41		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> K e. ( 1 ... N ) ) )
45	44	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> K e. ( 1 ... N ) )
46		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
47		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
49	48	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 0 ... N ) )
50		bcp1n 13103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
52		bcrpcl 13095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )
54	53	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) e. CC )
55		elfzuz2 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56	55, 34	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. NN )
57	56	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. NN )
58	57	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. CC )
59	56	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> N e. CC )
60		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> 1 e. CC )
61		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ZZ )
62	61	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. CC )
63	59, 60, 62	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
64		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
65		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
67	63, 66	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. NN )
68	67	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. CC )
69	67	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) =/= 0 )
70	54, 58, 68, 69	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) )
71	67	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - K ) e. RR+ )
72	53, 71	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. RR+ )
73	72	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) e. CC )
74	58, 73	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
76	58, 62	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) = ( N + 1 ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( N + 1 ) ) )
78	73, 68, 62	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) + K ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
79	75, 77, 78	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) x. ( ( N + 1 ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) ) = ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) )
80	54, 68, 69	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( N _C K ) )
81		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. NN )
82	81	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K =/= 0 )
83	54, 68, 62, 69, 82	divdiv2d 10833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) )
84		bcm1k 13102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) )
85	59, 62, 60	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - K ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) = ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( N - ( K - 1 ) ) / K ) ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
88	84, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) )
89		fzelp1 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
90	57	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
91		elfzm1b 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
92	61, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
93	89, 92	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
94	59, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
96	93, 95	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
97		bcrpcl 13095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. RR+ )
99	98	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) e. CC )
100	81	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> K e. RR+ )
101	71, 100	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. RR+ )
102	101	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) e. CC )
103	101	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) =/= 0 )
104	54, 99, 102, 103	divmul3d 10835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) <-> ( N _C K ) = ( ( N _C ( K - 1 ) ) x. ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) ) )
105	88, 104	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) / ( ( ( N + 1 ) - K ) / K ) ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
106	54, 62, 68, 69	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) x. K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) = ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) )
107	83, 105, 106	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) = ( N _C ( K - 1 ) ) )
108	80, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. ( ( N + 1 ) - K ) ) + ( ( ( N _C K ) / ( ( N + 1 ) - K ) ) x. K ) ) = ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) )
109	51, 79, 108	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
110	45, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
111		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( N _C K ) = ( N _C ( N + 1 ) ) )
112	33	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
113		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
114	113	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> N < ( N + 1 ) )
115	114	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) )
116		bcval4 13094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
117	112, 115, 116	mpd3an23 1426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
118	111, 117	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
119		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( K - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
120	119, 42	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( K - 1 ) = N )
121	120	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = ( N _C N ) )
122		bcnn 13099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C N ) = 1 )
124	121, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 1 )
125	118, 124	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 1 ) )
126		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
127		bcnn 13099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
128	1, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = 1 )
129	126, 128	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 1 )
130	30, 125, 129	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K = ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
131	110, 130	jaodan 826	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K e. ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) \/ K = ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
132	38, 131	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
133	32, 132	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
134	133	ex 450	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
135	28, 134	jaod 395	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( K = 0 \/ K e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
136	5, 135	sylbid 230	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) ) )
137	136	imp 445	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
138	137	adantlr 751	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
139		00id 10211	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
140		fzelp1 12393	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
141	140	con3i 150	. . . . 5 |- ( -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
142		bcval3 13093	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
143	142	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
144	141, 143	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
145		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
146		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
147		peano2zm 11420	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
148	146, 147	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
149	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
150	149, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
151	150	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
152	151	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) )
153		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
154	1	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
155	153, 154, 91	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
156		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
157	8, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
158	31, 157	eqsstr3i 3636	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
159	158	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
160	155, 159	syl6bir 244	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
161	152, 160	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) -> K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) )
162	161	con3dimp 457	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) )
163		bcval3 13093	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( K - 1 ) e. ZZ /\ -. ( K - 1 ) e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
164	145, 148, 162, 163	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( K - 1 ) ) = 0 )
165	144, 164	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( 0 + 0 ) )
166	145, 1	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
167		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
168		bcval3 13093	. . . 4 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
169	166, 146, 167, 168	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) _C K ) = 0 )
170	139, 165, 169	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )
171	138, 170	pm2.61dan 832	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( N _C K ) + ( N _C ( K - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   _C cbc 13089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090

This theorem is referenced by:  bccl  13109  bcn2m1  13111  bcn2p1  13112  hashbclem  13236  binomlem  14561  bcxmas  14567  binomfallfaclem2  14771  srgbinomlem  18544  bcp1ctr  25004  ex-bc  27309  bccolsum  31625  fwddifnp1  32272  dvnmul  40158  bcpascm1  42129