Theorem pncan 10287

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
2		simpl 473	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
3	1, 2	addcomd 10238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + A ) = ( A + B ) )
4		addcl 10018	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
5		subadd 10284	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) - B ) = A <-> ( B + A ) = ( A + B ) ) )
7	3, 6	mpbird 247	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  pncan2  10288  addsubass  10291  pncan3oi  10297  subid1  10301  nppcan2  10312  pncand  10393  nn1m1nn  11040  nnsub  11059  elnn0nn  11335  elz2  11394  zrevaddcl  11422  nzadd  11425  qrevaddcl  11810  irradd  11812  fzrev3  12406  elfzp1b  12417  fzrevral3  12427  fzval3  12536  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  subsq2  12973  bcp1nk  13104  bcp1m1  13107  bcpasc  13108  hashbclem  13236  ccatalpha  13375  wrdind  13476  wrd2ind  13477  2cshwcshw  13571  shftlem  13808  shftval5  13818  isershft  14394  isercoll2  14399  fsump1  14487  mptfzshft  14510  telfsumo  14534  fsumparts  14538  bcxmas  14567  isum1p  14573  geolim  14601  mertenslem2  14617  mertens  14618  fsumkthpow  14787  eftlub  14839  effsumlt  14841  eirrlem  14932  dvdsadd  15024  prmind2  15398  iserodd  15540  fldivp1  15601  prmpwdvds  15608  pockthlem  15609  prmreclem4  15623  prmreclem6  15625  4sqlem11  15659  vdwapun  15678  ramub1lem1  15730  ramcl  15733  efgsval2  18146  efgsrel  18147  pcoass  22824  shft2rab  23276  uniioombllem3  23353  uniioombllem4  23354  dvexp  23716  dvfsumlem1  23789  degltp1le  23833  ply1divex  23896  plyaddlem1  23969  plymullem1  23970  dvply1  24039  dvply2g  24040  vieta1lem2  24066  aaliou3lem7  24104  dvradcnv  24175  pserdvlem2  24182  abssinper  24270  advlogexp  24401  atantayl3  24666  leibpilem1  24667  leibpilem2  24668  emcllem2  24723  harmonicbnd4  24737  wilthlem2  24795  basellem8  24814  ppiprm  24877  ppinprm  24878  chtprm  24879  chtnprm  24880  chpp1  24881  chtub  24937  perfectlem1  24954  perfectlem2  24955  perfect  24956  bcp1ctr  25004  lgsvalmod  25041  lgseisen  25104  lgsquadlem1  25105  lgsquad2lem1  25109  2sqlem10  25153  rplogsumlem1  25173  selberg2lem  25239  logdivbnd  25245  pntrsumo1  25254  pntpbnd2  25276  wwlksnext  26788  clwwlksf1  26917  subfacp1lem5  31166  subfacp1lem6  31167  subfacval2  31169  subfaclim  31170  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem10  31276  mblfinlem2  33447  itg2addnclem3  33463  fdc  33541  mettrifi  33553  heiborlem4  33613  heiborlem6  33615  lzenom  37333  2nn0ind  37510  jm2.17a  37527  jm2.17b  37528  jm2.17c  37529  evensumeven  41616  perfectALTVlem2  41631  perfectALTV  41632