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Theorem bclbnd 25005

Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
bclbnd

Proof of Theorem bclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4z 11411	. 2
2		oveq2 6658	. . . 4
3		id 22	. . . 4
4	2, 3	oveq12d 6668	. . 3
5		oveq2 6658	. . . 4
6	5, 3	oveq12d 6668	. . 3
7	4, 6	breq12d 4666	. 2
8		oveq2 6658	. . . 4
9		id 22	. . . 4
10	8, 9	oveq12d 6668	. . 3
11		oveq2 6658	. . . 4
12	11, 9	oveq12d 6668	. . 3
13	10, 12	breq12d 4666	. 2
14		oveq2 6658	. . . 4
15		id 22	. . . 4
16	14, 15	oveq12d 6668	. . 3
17		oveq2 6658	. . . 4
18	17, 15	oveq12d 6668	. . 3
19	16, 18	breq12d 4666	. 2
20		oveq2 6658	. . . 4
21		id 22	. . . 4
22	20, 21	oveq12d 6668	. . 3
23		oveq2 6658	. . . 4
24	23, 21	oveq12d 6668	. . 3
25	22, 24	breq12d 4666	. 2
26		6nn0 11313	. . . 4
27		7nn0 11314	. . . 4
28		4nn0 11311	. . . 4
29		0nn0 11307	. . . 4
30		4lt10 11678	. . . 4 ;
31		6lt7 11209	. . . 4
32	26, 27, 28, 29, 30, 31	decltc 11532	. . 3 ; ;
33		2cn 11091	. . . . . 6
34		2nn0 11309	. . . . . 6
35		3nn0 11310	. . . . . 6
36		expmul 12905	. . . . . 6 $/\$ $/\$
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1424	. . . . 5
38		sq2 12960	. . . . . . 7
39	38	eqcomi 2631	. . . . . 6
40		4m1e3 11138	. . . . . 6
41	39, 40	oveq12i 6662	. . . . 5
42	37, 41	eqtr4i 2647	. . . 4
43		3cn 11095	. . . . . . 7
44		3t2e6 11179	. . . . . . 7
45	43, 33, 44	mulcomli 10047	. . . . . 6
46	45	oveq2i 6661	. . . . 5
47		2exp6 15795	. . . . 5 ;
48	46, 47	eqtri 2644	. . . 4 ;
49		4cn 11098	. . . . 5
50		4ne0 11117	. . . . 5
51		expm1 12910	. . . . 5 $/\$ $/\$
52	49, 50, 1, 51	mp3an 1424	. . . 4
53	42, 48, 52	3eqtr3ri 2653	. . 3 ;
54		df-4 11081	. . . . . . 7
55	54	oveq2i 6661	. . . . . 6
56	55, 54	oveq12i 6662	. . . . 5
57		bcp1ctr 25004	. . . . . 6
58	35, 57	ax-mp 5	. . . . 5
59		df-3 11080	. . . . . . . . 9
60	59	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
61	60, 59	oveq12i 6662	. . . . . . 7
62		bcp1ctr 25004	. . . . . . . . 9
63	34, 62	ax-mp 5	. . . . . . . 8
64		df-2 11079	. . . . . . . . . . . 12
65	64	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
66	65, 64	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
67		1nn0 11308	. . . . . . . . . . 11
68		bcp1ctr 25004	. . . . . . . . . . 11
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
70		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
72	71, 70	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13
73		bcp1ctr 25004	. . . . . . . . . . . . . 14
74	29, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
75	34, 29	nn0mulcli 11331	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . . . . . 16
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79	78	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80	79, 70	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
81	70	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82	80, 81	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84	82, 83	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
85	84	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16
87	85, 86	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	77, 87	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . 14
89	33	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . 14
90	88, 89	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
91	72, 74, 90	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12
92	86	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
93	92, 59	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	64	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	93, 94	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . 14
96	95	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
97		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14
98	43, 33, 97	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . . . 13
99	96, 98	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
100	91, 99	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11
101	100, 45	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
102	66, 69, 101	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9
103		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . 14
104	103	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
105		df-5 11082	. . . . . . . . . . . . 13
106	104, 105	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12
107	59	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12
108	106, 107	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11
109	108	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
110		5cn 11100	. . . . . . . . . . 11
111		3ne0 11115	. . . . . . . . . . 11
112	33, 110, 43, 111	divassi 10781	. . . . . . . . . 10
113	109, 112	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9
114	102, 113	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
115	63, 114	eqtri 2644	. . . . . . 7
116		6cn 11102	. . . . . . . . 9
117		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11
118		5nn 11188	. . . . . . . . . . 11
119	117, 118	nnmulcli 11044	. . . . . . . . . 10
120	119	nncni 11030	. . . . . . . . 9
121	43, 111	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 $/\$
122		div12 10707	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
123	116, 120, 121, 122	mp3an 1424	. . . . . . . 8
124		5t2e10 11634	. . . . . . . . . 10 ;
125	110, 33, 124	mulcomli 10047	. . . . . . . . 9 ;
126	116, 43, 33, 111	divmuli 10779	. . . . . . . . . 10
127	44, 126	mpbir 221	. . . . . . . . 9
128	125, 127	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 ;
129	123, 128	eqtri 2644	. . . . . . 7 ;
130	61, 115, 129	3eqtri 2648	. . . . . 6 ;
131	45	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
132		df-7 11084	. . . . . . . . 9
133	131, 132	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8
134		3p1e4 11153	. . . . . . . 8
135	133, 134	oveq12i 6662	. . . . . . 7
136	135	oveq2i 6661	. . . . . 6
137	130, 136	oveq12i 6662	. . . . 5 ;
138	56, 58, 137	3eqtri 2648	. . . 4 ;
139		10nn 11514	. . . . . . 7 ;
140	139	nncni 11030	. . . . . 6 ;
141		7cn 11104	. . . . . . . 8
142	141, 49, 50	divcli 10767	. . . . . . 7
143	33, 142	mulcli 10045	. . . . . 6
144	140, 33, 143	mulassi 10049	. . . . 5 ; ;
145	103	oveq1i 6660	. . . . . . 7
146	33, 33, 142	mulassi 10049	. . . . . . 7
147	141, 49, 50	divcan2i 10768	. . . . . . 7
148	145, 146, 147	3eqtr3i 2652	. . . . . 6
149	148	oveq2i 6661	. . . . 5 ; ;
150	144, 149	eqtri 2644	. . . 4 ; ;
151	27	dec0u 11520	. . . 4 ; ;
152	138, 150, 151	3eqtri 2648	. . 3 ;
153	32, 53, 152	3brtr4i 4683	. 2
154		4nn 11187	. . . 4
155		eluznn 11758	. . . 4 $/\$
156	154, 155	mpan 706	. . 3
157		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10
158		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 $/\$
159	154, 157, 158	sylancr 695	. . . . . . . . 9
160	159	nnrpd 11870	. . . . . . . 8
161		nnrp 11842	. . . . . . . 8
162	160, 161	rpdivcld 11889	. . . . . . 7
163	162	rpred 11872	. . . . . 6
164		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . 10 $/\$
165	117, 164	mpan 706	. . . . . . . . 9
166	165	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8
167		nnz 11399	. . . . . . . 8
168		bccl 13109	. . . . . . . 8 $/\$
169	166, 167, 168	syl2anc 693	. . . . . . 7
170	169	nn0red 11352	. . . . . 6
171		2rp 11837	. . . . . . 7
172	165	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9
173	172	nnrpd 11870	. . . . . . . 8
174		peano2nn 11032	. . . . . . . . 9
175	174	nnrpd 11870	. . . . . . . 8
176	173, 175	rpdivcld 11889	. . . . . . 7
177		rpmulcl 11855	. . . . . . 7 $/\$
178	171, 176, 177	sylancr 695	. . . . . 6
179	163, 170, 178	ltmul1d 11913	. . . . 5
180		bcp1ctr 25004	. . . . . . 7
181	157, 180	syl 17	. . . . . 6
182	181	breq2d 4665	. . . . 5
183	179, 182	bitr4d 271	. . . 4
184		2re 11090	. . . . . . . 8
185	184	a1i 11	. . . . . . 7
186	173, 161	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8
187	186	rpred 11872	. . . . . . 7
188		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . 10 $/\$
189	159, 117, 188	sylancl 694	. . . . . . . . 9
190	189	nnrpd 11870	. . . . . . . 8
191	190, 175	rpdivcld 11889	. . . . . . 7
192	161	rpreccld 11882	. . . . . . . . 9
193		ltaddrp 11867	. . . . . . . . 9 $/\$
194	184, 192, 193	sylancr 695	. . . . . . . 8
195	165	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10
196		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10
197		nncn 11028	. . . . . . . . . 10
198		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10
199	195, 196, 197, 198	divdird 10839	. . . . . . . . 9
200	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
201	200, 197, 198	divcan4d 10807	. . . . . . . . . 10
202	201	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
203	199, 202	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8
204	194, 203	breqtrd 4679	. . . . . . 7
205	185, 187, 191, 204	ltmul2dd 11928	. . . . . 6
206		expp1 12867	. . . . . . . . . 10 $/\$
207	49, 157, 206	sylancr 695	. . . . . . . . 9
208	159	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11
209	208, 200, 200	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10
210	103	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
211	209, 210	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
212	207, 211	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8
213	212	oveq1d 6665	. . . . . . 7
214	189	nncnd 11036	. . . . . . . 8
215	174	nncnd 11036	. . . . . . . 8
216	174	nnne0d 11065	. . . . . . . 8
217	214, 200, 215, 216	div23d 10838	. . . . . . 7
218	213, 217	eqtrd 2656	. . . . . 6
219	208, 200, 197, 198	div23d 10838	. . . . . . . 8
220	219	oveq1d 6665	. . . . . . 7
221	172	nncnd 11036	. . . . . . . 8
222	214, 197, 221, 215, 198, 216	divmul24d 10844	. . . . . . 7
223	162	rpcnd 11874	. . . . . . . 8
224	176	rpcnd 11874	. . . . . . . 8
225	223, 200, 224	mulassd 10063	. . . . . . 7
226	220, 222, 225	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6
227	205, 218, 226	3brtr4d 4685	. . . . 5
228	174	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10
229		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 $/\$
230	154, 228, 229	sylancr 695	. . . . . . . . 9
231	230	nnrpd 11870	. . . . . . . 8
232	231, 175	rpdivcld 11889	. . . . . . 7
233	232	rpred 11872	. . . . . 6
234	178	rpred 11872	. . . . . . 7
235	163, 234	remulcld 10070	. . . . . 6
236		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . 9 $/\$
237	34, 228, 236	sylancr 695	. . . . . . . 8
238	174	nnzd 11481	. . . . . . . 8
239		bccl 13109	. . . . . . . 8 $/\$
240	237, 238, 239	syl2anc 693	. . . . . . 7
241	240	nn0red 11352	. . . . . 6
242		lttr 10114	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
243	233, 235, 241, 242	syl3anc 1326	. . . . 5 $/\$
244	227, 243	mpand 711	. . . 4
245	183, 244	sylbid 230	. . 3
246	156, 245	syl 17	. 2
247	1, 7, 13, 19, 25, 153, 246	uzind4i 11750	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c5 11073

c6 11074

c7 11075

cn0 11292

cz 11377 ;cdc 11493

cuz 11687

crp 11832

cexp 12860

cbc 13089

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090

This theorem is referenced by: bposlem6 25014 chebbnd1lem1 25158

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