Theorem brfi1indALTOLD 13288

Description: Obsolete version of brfi1indALT 13282 as of 28-Mar-2021. (Contributed by AV, 7-Jan-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
brfi1indOLD.r	|- Rel G
brfi1indOLD.f	|- F e. U
brfi1indOLD.1	|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ps <-> ph ) )
brfi1indOLD.2	|- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ps <-> th ) )
brfi1indOLD.3	|- ( ( v G e /\ n e. v ) -> ( v \ { n } ) G F )
brfi1indOLD.4	|- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( th <-> ch ) )
brfi1indOLD.base	|- ( ( v G e /\ ( # ` v ) = 0 ) -> ps )
brfi1indOLD.step	|- ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
brfi1indALTOLD	|- ( ( V G E /\ V e. Fin ) -> ph )

Distinct variable groups:   e, E, n, v   f, F, w   e, G, f, n, v, w, y   e, V, n, v   ps, f, n, w, y   th, e, n, v   ch, f, w   ph, e, n, v

Allowed substitution hints:   ph( y, w, f)   ps( v, e)   ch( y, v, e, n)   th( y, w, f)   U( y, w, v, e, f, n)   E( y, w, f)   F( y, v, e, n)   V( y, w, f)

Proof of Theorem brfi1indALTOLD

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 13147	. . 3 |- ( V e. Fin -> ( # ` V ) e. NN0 )
2		df-clel 2618	. . . 4 |- ( ( # ` V ) e. NN0 <-> E. n ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) )
3		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 0 -> ( ( # ` v ) = x <-> ( # ` v ) = 0 ) )
4	3	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) <-> ( v G e /\ ( # ` v ) = 0 ) ) )
5	4	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = 0 ) -> ps ) ) )
6	5	2albidv 1851	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = 0 ) -> ps ) ) )
7		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( # ` v ) = x <-> ( # ` v ) = y ) )
8	7	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) <-> ( v G e /\ ( # ` v ) = y ) ) )
9	8	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = y ) -> ps ) ) )
10	9	2albidv 1851	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = y ) -> ps ) ) )
11		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( # ` v ) = x <-> ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) )
12	11	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) <-> ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) )
13	12	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ps ) ) )
14	13	2albidv 1851	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ps ) ) )
15		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = n -> ( ( # ` v ) = x <-> ( # ` v ) = n ) )
16	15	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = n -> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) <-> ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) ) )
17	16	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = n -> ( ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) ) )
18	17	2albidv 1851	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = n -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = x ) -> ps ) <-> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) ) )
19		brfi1indOLD.base	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v G e /\ ( # ` v ) = 0 ) -> ps )
20	19	gen2 1723	. . . . . . . . . . 11 |- A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = 0 ) -> ps )
21		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( v G e <-> w G f ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = w -> ( # ` v ) = ( # ` w ) )
23	22	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = w -> ( ( # ` v ) = y <-> ( # ` w ) = y ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ( # ` v ) = y <-> ( # ` w ) = y ) )
25	21, 24	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = y ) <-> ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) ) )
26		brfi1indOLD.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ps <-> th ) )
27	25, 26	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( ( ( v G e /\ ( # ` v ) = y ) -> ps ) <-> ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) ) )
28	27	cbval2v 2285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = y ) -> ps ) <-> A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) )
29		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. NN0 -> y e. RR )
30		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. NN0 -> 1 e. RR )
32		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. NN0 -> 0 <_ y )
33		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 < 1
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. NN0 -> 0 < 1 )
35	29, 31, 32, 34	addgegt0d 10601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. NN0 -> 0 < ( y + 1 ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> 0 < ( y + 1 ) )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( # ` v ) = ( y + 1 ) )
38	36, 37	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. NN0 /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> 0 < ( # ` v ) )
39	38	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) -> 0 < ( # ` v ) )
40		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- v e. _V
41		hashgt0elex 13189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. _V /\ 0 < ( # ` v ) ) -> E. n n e. v )
42		brfi1indOLD.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( v G e /\ n e. v ) -> ( v \ { n } ) G F )
43	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> v e. _V )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> n e. v )
45		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> y e. NN0 )
46		brfi1indlem 13278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( v e. _V /\ n e. v /\ y e. NN0 ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
48	47	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y )
49		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( y e. NN0 -> ( y + 1 ) e. NN0 )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> ( y + 1 ) e. NN0 )
52		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> v G e )
53		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> ( # ` v ) = ( y + 1 ) )
54		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) -> n e. v )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> n e. v )
56	52, 53, 55	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) )
57	51, 56	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) )
58		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( v e. _V -> ( v \ { n } ) e. _V )
59	40, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( v \ { n } ) e. _V
60		brfi1indOLD.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- F e. U
61		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( w G f <-> ( v \ { n } ) G F ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( w = ( v \ { n } ) -> ( # ` w ) = ( # ` ( v \ { n } ) ) )
63	62	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( w = ( v \ { n } ) -> ( ( # ` w ) = y <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( ( # ` w ) = y <-> ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) )
65	61, 64	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) <-> ( ( v \ { n } ) G F /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) ) )
66		brfi1indOLD.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( th <-> ch ) )
67	65, 66	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = F ) -> ( ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) <-> ( ( ( v \ { n } ) G F /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) ) )
68	67	spc2gv 3296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( v \ { n } ) e. _V /\ F e. U ) -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ( ( ( v \ { n } ) G F /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) ) )
69	59, 60, 68	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ( ( ( v \ { n } ) G F /\ ( # ` ( v \ { n } ) ) = y ) -> ch ) )
70	69	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ch ) )
71	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ch ) )
72		brfi1indOLD.step	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) /\ ch ) -> ps )
73	57, 71, 72	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) /\ ( v \ { n } ) G F ) /\ ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) /\ v G e ) -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ps ) )
74	73	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( v G e -> ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ps ) ) ) ) )
75	74	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
76	75	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( # ` ( v \ { n } ) ) = y -> ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
77	48, 76	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) )
78	77	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
79	78	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( y e. NN0 /\ n e. v ) -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
80	79	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. NN0 -> ( n e. v -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
81	80	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v G e -> ( n e. v -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
82	81	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( v G e /\ n e. v ) -> ( ( v \ { n } ) G F -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
83	42, 82	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( v G e /\ n e. v ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) )
84	83	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v G e -> ( n e. v -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
85	84	com4l 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. v -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
86	85	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. n n e. v -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
87	41, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. _V /\ 0 < ( # ` v ) ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. _V -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( v G e -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
89	88	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. _V -> ( v G e -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) ) )
90	40, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v G e -> ( ( # ` v ) = ( y + 1 ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) ) )
91	90	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ( y e. NN0 -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) ) )
92	91	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN0 /\ ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) -> ( 0 < ( # ` v ) -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) ) )
93	39, 92	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. NN0 /\ ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) ) -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> ps ) )
94	93	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. NN0 /\ A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) ) -> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ps ) )
95	94	alrimivv 1856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. NN0 /\ A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) ) -> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ps ) )
96	95	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> ( A. w A. f ( ( w G f /\ ( # ` w ) = y ) -> th ) -> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ps ) ) )
97	28, 96	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN0 -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = y ) -> ps ) -> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) ) -> ps ) ) )
98	6, 10, 14, 18, 20, 97	nn0ind 11472	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) )
99		brfi1indOLD.r	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Rel G
100	99	brrelexi 5158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V G E -> V e. _V )
101	99	brrelex2i 5159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V G E -> E e. _V )
102	100, 101	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V G E -> ( V e. _V /\ E e. _V ) )
103		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( v G e <-> V G E ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = V -> ( # ` v ) = ( # ` V ) )
105	104	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = V -> ( ( # ` v ) = n <-> ( # ` V ) = n ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ( # ` v ) = n <-> ( # ` V ) = n ) )
107	103, 106	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) <-> ( V G E /\ ( # ` V ) = n ) ) )
108		brfi1indOLD.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ps <-> ph ) )
109	107, 108	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) <-> ( ( V G E /\ ( # ` V ) = n ) -> ph ) ) )
110	109	spc2gv 3296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) -> ( ( V G E /\ ( # ` V ) = n ) -> ph ) ) )
111	110	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( V G E /\ ( # ` V ) = n ) -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) -> ph ) ) )
112	111	expd 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V G E -> ( ( # ` V ) = n -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) -> ph ) ) ) )
113	102, 112	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 |- ( V G E -> ( ( # ` V ) = n -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) -> ph ) ) )
114	113	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V G E /\ ( # ` V ) = n ) -> ( A. v A. e ( ( v G e /\ ( # ` v ) = n ) -> ps ) -> ph ) )
115	98, 114	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( V G E /\ ( # ` V ) = n ) -> ( n e. NN0 -> ph ) )
116	115	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` V ) = n -> ( V G E -> ( n e. NN0 -> ph ) ) )
117	116	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( # ` V ) = n -> ( n e. NN0 -> ( V G E -> ph ) ) )
118	117	eqcoms 2630	. . . . . 6 |- ( n = ( # ` V ) -> ( n e. NN0 -> ( V G E -> ph ) ) )
119	118	imp 445	. . . . 5 |- ( ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( V G E -> ph ) )
120	119	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. n ( n = ( # ` V ) /\ n e. NN0 ) -> ( V G E -> ph ) )
121	2, 120	sylbi 207	. . 3 |- ( ( # ` V ) e. NN0 -> ( V G E -> ph ) )
122	1, 121	syl 17	. 2 |- ( V e. Fin -> ( V G E -> ph ) )
123	122	impcom 446	1 |- ( ( V G E /\ V e. Fin ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   NN0cn0 11292   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by: (None)