Theorem brfi1indlem 13278

Description: TODO-AV1: no lemma, but self-reliant theorem! Lemma for brfi1ind 13281: The size of a set is the size of this set with one element removed, increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brfi1indlem	|- ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = Y ) )

Proof of Theorem brfi1indlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11333	. . . . . . . 8 |- ( Y e. NN0 -> ( Y + 1 ) e. NN0 )
2		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y + 1 ) e. NN0 -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> ( # ` V ) e. NN0 ) )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Y + 1 ) e. NN0 /\ V e. W ) -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> ( # ` V ) e. NN0 ) )
4	3	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y + 1 ) e. NN0 /\ V e. W ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> ( # ` V ) e. NN0 )
5		hashclb 13149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V e. W -> ( V e. Fin <-> ( # ` V ) e. NN0 ) )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y + 1 ) e. NN0 /\ V e. W ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> ( V e. Fin <-> ( # ` V ) e. NN0 ) )
7	4, 6	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y + 1 ) e. NN0 /\ V e. W ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> V e. Fin )
8	7	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y + 1 ) e. NN0 /\ V e. W ) -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> V e. Fin ) )
9	8	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( Y + 1 ) e. NN0 -> ( V e. W -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> V e. Fin ) ) )
10	1, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( Y e. NN0 -> ( V e. W -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> V e. Fin ) ) )
11	10	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( V e. W /\ Y e. NN0 ) -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> V e. Fin ) )
12	11	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> V e. Fin ) )
13	12	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> V e. Fin )
14		snssi 4339	. . . . . 6 |- ( N e. V -> { N } C_ V )
15	14	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) -> { N } C_ V )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> { N } C_ V )
17		hashssdif 13200	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ { N } C_ V ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - ( # ` { N } ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = ( ( # ` V ) - ( # ` { N } ) ) )
19		oveq1 6657	. . . 4 |- ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> ( ( # ` V ) - ( # ` { N } ) ) = ( ( Y + 1 ) - ( # ` { N } ) ) )
20		hashsng 13159	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> ( # ` { N } ) = 1 )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( N e. V -> ( ( Y + 1 ) - ( # ` { N } ) ) = ( ( Y + 1 ) - 1 ) )
22	21	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) -> ( ( Y + 1 ) - ( # ` { N } ) ) = ( ( Y + 1 ) - 1 ) )
23		nn0cn 11302	. . . . . . 7 |- ( Y e. NN0 -> Y e. CC )
24		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( Y e. NN0 -> 1 e. CC )
25	23, 24	pncand 10393	. . . . . 6 |- ( Y e. NN0 -> ( ( Y + 1 ) - 1 ) = Y )
26	25	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) -> ( ( Y + 1 ) - 1 ) = Y )
27	22, 26	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) -> ( ( Y + 1 ) - ( # ` { N } ) ) = Y )
28	19, 27	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> ( ( # ` V ) - ( # ` { N } ) ) = Y )
29	18, 28	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) /\ ( # ` V ) = ( Y + 1 ) ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = Y )
30	29	ex 450	1 |- ( ( V e. W /\ N e. V /\ Y e. NN0 ) -> ( ( # ` V ) = ( Y + 1 ) -> ( # ` ( V \ { N } ) ) = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  fi1uzind  13279  brfi1indALT  13282  fi1uzindOLD  13285  brfi1indALTOLD  13288  cusgrsize2inds  26349