Theorem brsegle2 32216

Description: Alternate characterization of segment comparison. Theorem 5.5 of [Schwabhauser] p. 41-42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
brsegle2	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, A   x, B   x, C   x, D

Proof of Theorem brsegle2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsegle 32215	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
2		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
3		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
4		simpl3l 1116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5		simpl3r 1117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
6		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
7		btwncolinear2 32177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( y Btwn <. C , D >. -> C Colinear <. y , D >. ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( y Btwn <. C , D >. -> C Colinear <. y , D >. ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> ( y Btwn <. C , D >. -> C Colinear <. y , D >. ) )
10	2, 9	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> C Colinear <. y , D >. )
11		simpl2l 1114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
12		simpl2r 1115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
13		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> <. A , B >.Cgr <. C , y >. )
14	3, 11, 12, 4, 6, 13	cgrcomand 32098	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> <. C , y >.Cgr <. A , B >. )
15		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
16		lineext 32183	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( C Colinear <. y , D >. /\ <. C , y >.Cgr <. A , B >. ) -> E. x e. ( EE ` N ) <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. ) )
17	3, 4, 6, 5, 15, 16	syl131anc 1339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( C Colinear <. y , D >. /\ <. C , y >.Cgr <. A , B >. ) -> E. x e. ( EE ` N ) <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> ( ( C Colinear <. y , D >. /\ <. C , y >.Cgr <. A , B >. ) -> E. x e. ( EE ` N ) <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. ) )
19	10, 14, 18	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. )
20		an32 839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) )
21		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
22		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
25		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
27		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
29		simpl2r 1115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
31		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
32		brcgr3 32153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) )
33	21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 32	syl133anc 1349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) )
35		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
36		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) )
37	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) )
38	36, 37	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. )
39		btwnxfr 32163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. ) -> B Btwn <. A , x >. ) )
40	21, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 39	syl133anc 1349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. ) -> B Btwn <. A , x >. ) )
41	40	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. ) -> B Btwn <. A , x >. ) )
42	35, 38, 41	mp2and 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> B Btwn <. A , x >. )
43		simp32 1098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> <. C , D >.Cgr <. A , x >. )
44		cgrcom 32097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , D >.Cgr <. A , x >. <-> <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) )
45	21, 23, 26, 28, 31, 44	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( <. C , D >.Cgr <. A , x >. <-> <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) )
46	45	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> ( <. C , D >.Cgr <. A , x >. <-> <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) )
47	43, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> <. A , x >.Cgr <. C , D >. )
48	42, 47	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) )
49	48	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> ( ( <. C , y >.Cgr <. A , B >. /\ <. C , D >.Cgr <. A , x >. /\ <. y , D >.Cgr <. B , x >. ) -> ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
50	34, 49	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. -> ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
51	20, 50	sylanb 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. -> ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
52	51	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. -> ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
53	52	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> ( E. x e. ( EE ` N ) <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. A , <. B , x >. >. -> E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
54	19, 53	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) )
55	54	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
56	55	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
57		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> B Btwn <. A , x >. )
58		simpll1 1100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> N e. NN )
59	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
60		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
61	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
62		btwncolinear1 32176	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. -> A Colinear <. x , B >. ) )
63	58, 59, 60, 61, 62	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> ( B Btwn <. A , x >. -> A Colinear <. x , B >. ) )
64	57, 63	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> A Colinear <. x , B >. )
65		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> <. A , x >.Cgr <. C , D >. )
66		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
67		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> x e. ( EE ` N ) )
68		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) )
69		lineext 32183	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( A Colinear <. x , B >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. ) )
70	66, 27, 67, 29, 68, 69	syl131anc 1339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( ( A Colinear <. x , B >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> ( ( A Colinear <. x , B >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. ) )
72	64, 65, 71	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. )
73	27, 67, 29	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) )
75		brcgr3 32153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. <-> ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) )
76	21, 74, 23, 26, 24, 75	syl113anc 1338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. <-> ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> ( <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. <-> ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) )
78		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> B Btwn <. A , x >. )
79		simp32 1098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> <. A , B >.Cgr <. C , y >. )
80		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> <. A , x >.Cgr <. C , D >. )
81		simp33 1099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> <. x , B >.Cgr <. D , y >. )
82		cgrcomlr 32105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. x , B >.Cgr <. D , y >. <-> <. B , x >.Cgr <. y , D >. ) )
83	21, 31, 30, 26, 24, 82	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( <. x , B >.Cgr <. D , y >. <-> <. B , x >.Cgr <. y , D >. ) )
84	83	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> ( <. x , B >.Cgr <. D , y >. <-> <. B , x >.Cgr <. y , D >. ) )
85	81, 84	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> <. B , x >.Cgr <. y , D >. )
86	79, 80, 85	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. B , x >.Cgr <. y , D >. ) )
87		brcgr3 32153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , <. B , x >. >.Cgr3 <. C , <. y , D >. >. <-> ( <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. B , x >.Cgr <. y , D >. ) ) )
88	21, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 87	syl133anc 1349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( <. A , <. B , x >. >.Cgr3 <. C , <. y , D >. >. <-> ( <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. B , x >.Cgr <. y , D >. ) ) )
89	88	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> ( <. A , <. B , x >. >.Cgr3 <. C , <. y , D >. >. <-> ( <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. B , x >.Cgr <. y , D >. ) ) )
90	86, 89	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> <. A , <. B , x >. >.Cgr3 <. C , <. y , D >. >. )
91		btwnxfr 32163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , <. B , x >. >.Cgr3 <. C , <. y , D >. >. ) -> y Btwn <. C , D >. ) )
92	21, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 91	syl133anc 1349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , <. B , x >. >.Cgr3 <. C , <. y , D >. >. ) -> y Btwn <. C , D >. ) )
93	92	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , <. B , x >. >.Cgr3 <. C , <. y , D >. >. ) -> y Btwn <. C , D >. ) )
94	78, 90, 93	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
95	94, 79	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) /\ ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) ) -> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) )
96	95	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> ( ( <. A , x >.Cgr <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. /\ <. x , B >.Cgr <. D , y >. ) -> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
97	77, 96	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> ( <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. -> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
98	97	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. -> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
99	98	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) <. A , <. x , B >. >.Cgr3 <. C , <. D , y >. >. -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
100	72, 99	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) /\ ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) )
101	100	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ x e. ( EE ` N ) ) -> ( ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
102	101	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) -> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
103	56, 102	impbid 202	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) <-> E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )
104	1, 103	bitrd 268	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. x e. ( EE ` N ) ( B Btwn <. A , x >. /\ <. A , x >.Cgr <. C , D >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770  Cgr3ccgr3 32143   Colinear ccolin 32144   Seg<_ csegle 32213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-cgr 25773  df-ofs 32090  df-colinear 32146  df-ifs 32147  df-cgr3 32148  df-segle 32214

This theorem is referenced by:  segleantisym  32222  seglelin  32223  outsidele  32239