Theorem seglecgr12im 32217

Description: Substitution law for segment comparison under congruence. Theorem 5.6 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seglecgr12im	|- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. ) -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )

Proof of Theorem seglecgr12im

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
2		simprlr 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> <. C , D >.Cgr <. G , H >. )
3		simpl11 1136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> N e. NN )
4		simpl21 1139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
6		simpl22 1140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
7		simpl32 1143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
8		simpl33 1144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
9		cgrxfr 32162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	syl132anc 1344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) ) )
12	1, 2, 11	mp2and 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) )
13		anass 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) )
14		simpl11 1136	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
15		simpl21 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
16		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
17		simpl22 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
18		simpl32 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
19		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
20		simpl33 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
21		brcgr3 32153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
22	14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	syl133anc 1349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
24		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) <-> ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) )
25		simpl23 1141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
26		simpl31 1142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
27		simpl12 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
28		simpl13 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
29		simpr1l 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. E , F >. )
30		simpr2r 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. C , y >. )
31	14, 27, 28, 25, 26, 15, 16, 29, 30	cgrtr4and 32093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. C , y >. )
32		simpr31 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. C , y >.Cgr <. G , z >. )
33	14, 25, 26, 15, 16, 18, 19, 31, 32	cgrtrand 32100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. )
34	24, 33	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) /\ ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) ) ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. )
35	34	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( <. C , y >.Cgr <. G , z >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. y , D >.Cgr <. z , H >. ) -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
36	23, 35	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. -> <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
37	36	anim2d 589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
38	13, 37	sylanb 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
39	38	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
40	39	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> ( E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. G , <. z , H >. >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
41	12, 40	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) /\ ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) )
42	41	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
43	42	an32s 846	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) /\ y e. ( EE ` N ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
44	43	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) -> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
45		simp11 1091	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
46		simp12 1092	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
47		simp13 1093	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
48		simp21 1094	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
49		simp22 1095	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
50		brsegle 32215	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	syl122anc 1335	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
52	51	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
53		simp23 1096	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
54		simp31 1097	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
55		simp32 1098	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> G e. ( EE ` N ) )
56		simp33 1099	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> H e. ( EE ` N ) )
57		brsegle 32215	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
58	45, 53, 54, 55, 56, 57	syl122anc 1335	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
59	58	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. G , H >. /\ <. E , F >.Cgr <. G , z >. ) ) )
60	44, 52, 59	3imtr4d 283	. . 3 |- ( ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )
61	60	exp32 631	. 2 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. -> ( <. C , D >.Cgr <. G , H >. -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) ) ) )
62	61	3impd 1281	1 |- ( ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) /\ ( F e. ( EE ` N ) /\ G e. ( EE ` N ) /\ H e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >.Cgr <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. G , H >. /\ <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. ) -> <. E , F >. Seg<_ <. G , H >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770  Cgr3ccgr3 32143   Seg<_ csegle 32213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-cgr 25773  df-ofs 32090  df-cgr3 32148  df-segle 32214

This theorem is referenced by:  seglecgr12  32218