Theorem segletr 32221

Description: Segment less than is transitive. Theorem 5.8 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
segletr	|- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) -> <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. ) )

Proof of Theorem segletr

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 802	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> y Btwn <. C , D >. )
2		simprrr 805	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> <. C , D >.Cgr <. E , z >. )
3	1, 2	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) )
4		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
5		simpl23 1141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
6		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
7		simpl31 1142	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
8		simpl32 1143	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
9		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
10		cgrxfr 32162	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) ) )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	syl132anc 1344	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) ) )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) ) )
13	3, 12	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) )
14		anass 681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) )
15		df-3an 1039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) )
16	15	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) <-> ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) )
17	14, 16	bitr4i 267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) <-> ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) )
18		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
19		simpl23 1141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
20		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> y e. ( EE ` N ) )
21		simpl31 1142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
22		simpl32 1143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
23		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> w e. ( EE ` N ) )
24		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> z e. ( EE ` N ) )
25		brcgr3 32153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ y e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) )
26	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	syl133anc 1349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. <-> ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) )
27	26	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) <-> ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) <-> ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) )
29		df-3an 1039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) <-> ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) )
30		simpl33 1144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
31		simpr3l 1122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> w Btwn <. E , z >. )
32		simpr2l 1120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> z Btwn <. E , F >. )
33	18, 22, 23, 24, 30, 31, 32	btwnexchand 32133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> w Btwn <. E , F >. )
34		simpl21 1139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
35		simpl22 1140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
36		simpr1r 1119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. C , y >. )
37		simp3r1 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) -> <. C , y >.Cgr <. E , w >. )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> <. C , y >.Cgr <. E , w >. )
39	18, 34, 35, 19, 20, 22, 23, 36, 38	cgrtrand 32100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> <. A , B >.Cgr <. E , w >. )
40	33, 39	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) )
41	29, 40	sylan2br 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) /\ ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) ) ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) )
42	41	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ ( <. C , y >.Cgr <. E , w >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. /\ <. y , D >.Cgr <. w , z >. ) ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
43	28, 42	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) /\ w e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
44	17, 43	sylanb 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
45	44	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) /\ w e. ( EE ` N ) ) -> ( ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
46	45	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> ( E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , z >. /\ <. C , <. y , D >. >.Cgr3 <. E , <. w , z >. >. ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
47	13, 46	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) )
48	47	exp31 630	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( y e. ( EE ` N ) /\ z e. ( EE ` N ) ) -> ( ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) ) )
49	48	rexlimdvv 3037	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) -> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
50		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> N e. NN )
51		simp21 1094	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
52		simp22 1095	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
53		simp23 1096	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
54		simp31 1097	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
55		brsegle 32215	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
56	50, 51, 52, 53, 54, 55	syl122anc 1335	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. <-> E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) ) )
57		simp32 1098	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
58		simp33 1099	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
59		brsegle 32215	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) )
60	50, 53, 54, 57, 58, 59	syl122anc 1335	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) )
61	56, 60	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) <-> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) )
62		reeanv 3107	. . 3 |- ( E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) <-> ( E. y e. ( EE ` N ) ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ E. z e. ( EE ` N ) ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) )
63	61, 62	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) <-> E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) ( ( y Btwn <. C , D >. /\ <. A , B >.Cgr <. C , y >. ) /\ ( z Btwn <. E , F >. /\ <. C , D >.Cgr <. E , z >. ) ) ) )
64		brsegle 32215	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
65	50, 51, 52, 57, 58, 64	syl122anc 1335	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. <-> E. w e. ( EE ` N ) ( w Btwn <. E , F >. /\ <. A , B >.Cgr <. E , w >. ) ) )
66	49, 63, 65	3imtr4d 283	1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( <. A , B >. Seg<_ <. C , D >. /\ <. C , D >. Seg<_ <. E , F >. ) -> <. A , B >. Seg<_ <. E , F >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   NNcn 11020   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769  Cgrccgr 25770  Cgr3ccgr3 32143   Seg<_ csegle 32213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-btwn 25772  df-cgr 25773  df-ofs 32090  df-cgr3 32148  df-segle 32214

This theorem is referenced by: (None)