Theorem chrrhm 19879

Description: The characteristic restriction on ring homomorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
chrrhm	|- ( F e. ( R RingHom S ) -> (chr ` S ) || (chr ` R ) )

Proof of Theorem chrrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl1 18719	. . . . . . 7 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> R e. Ring )
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` R ) = ( ZRHom ` R )
3	2	zrhrhm 19860	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) )
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) )
5		zringbas 19824	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
7	5, 6	rhmf 18726	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) -> ( ZRHom ` R ) : ZZ --> ( Base ` R ) )
8		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` R ) : ZZ --> ( Base ` R ) -> ( ZRHom ` R ) Fn ZZ )
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ZRHom ` R ) Fn ZZ )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (chr ` R ) = (chr ` R )
11	10	chrcl 19874	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (chr ` R ) e. NN0 )
12		nn0z 11400	. . . . . 6 |- ( (chr ` R ) e. NN0 -> (chr ` R ) e. ZZ )
13	1, 11, 12	3syl 18	. . . . 5 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> (chr ` R ) e. ZZ )
14		fvco2 6273	. . . . 5 |- ( ( ( ZRHom ` R ) Fn ZZ /\ (chr ` R ) e. ZZ ) -> ( ( F o. ( ZRHom ` R ) ) ` (chr ` R ) ) = ( F ` ( ( ZRHom ` R ) ` (chr ` R ) ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ( F o. ( ZRHom ` R ) ) ` (chr ` R ) ) = ( F ` ( ( ZRHom ` R ) ` (chr ` R ) ) ) )
16		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
17	10, 2, 16	chrid 19875	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( ( ZRHom ` R ) ` (chr ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ( ZRHom ` R ) ` (chr ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F ` ( ( ZRHom ` R ) ` (chr ` R ) ) ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
20	15, 19	eqtrd 2656	. . 3 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ( F o. ( ZRHom ` R ) ) ` (chr ` R ) ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
21		rhmco 18737	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R RingHom S ) /\ ( ZRHom ` R ) e. (ℤring RingHom R ) ) -> ( F o. ( ZRHom ` R ) ) e. (ℤring RingHom S ) )
22	4, 21	mpdan 702	. . . . 5 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F o. ( ZRHom ` R ) ) e. (ℤring RingHom S ) )
23		rhmrcl2 18720	. . . . . 6 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> S e. Ring )
24		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ZRHom ` S ) = ( ZRHom ` S )
25	24	zrhrhmb 19859	. . . . . 6 |- ( S e. Ring -> ( ( F o. ( ZRHom ` R ) ) e. (ℤring RingHom S ) <-> ( F o. ( ZRHom ` R ) ) = ( ZRHom ` S ) ) )
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ( F o. ( ZRHom ` R ) ) e. (ℤring RingHom S ) <-> ( F o. ( ZRHom ` R ) ) = ( ZRHom ` S ) ) )
27	22, 26	mpbid 222	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F o. ( ZRHom ` R ) ) = ( ZRHom ` S ) )
28	27	fveq1d 6193	. . 3 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ( F o. ( ZRHom ` R ) ) ` (chr ` R ) ) = ( ( ZRHom ` S ) ` (chr ` R ) ) )
29		rhmghm 18725	. . . 4 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> F e. ( R GrpHom S ) )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
31	16, 30	ghmid 17666	. . . 4 |- ( F e. ( R GrpHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
32	29, 31	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
33	20, 28, 32	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( ( ZRHom ` S ) ` (chr ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
34		eqid 2622	. . . 4 |- (chr ` S ) = (chr ` S )
35	34, 24, 30	chrdvds 19876	. . 3 |- ( ( S e. Ring /\ (chr ` R ) e. ZZ ) -> ( (chr ` S ) || (chr ` R ) <-> ( ( ZRHom ` S ) ` (chr ` R ) ) = ( 0g ` S ) ) )
36	23, 13, 35	syl2anc 693	. 2 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> ( (chr ` S ) || (chr ` R ) <-> ( ( ZRHom ` S ) ` (chr ` R ) ) = ( 0g ` S ) ) )
37	33, 36	mpbird 247	1 |- ( F e. ( R RingHom S ) -> (chr ` S ) || (chr ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100   GrpHom cghm 17657   Ringcrg 18547   RingHom crh 18712  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  chrcchr 19850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-od 17948  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-chr 19854

This theorem is referenced by: (None)