Theorem climinf3 39948

Description: A convergent, non-increasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climinf3.1	|- F/ k ph
climinf3.2	|- F/_ k F
climinf3.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
climinf3.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climinf3.5	|- ( ph -> F : Z --> RR )
climinf3.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
climinf3.7	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
climinf3	|- ( ph -> F ~~> inf ( ran F , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   F( k)

Proof of Theorem climinf3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climinf3.1	. 2 |- F/ k ph
2		climinf3.2	. 2 |- F/_ k F
3		climinf3.4	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		climinf3.3	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		climinf3.5	. 2 |- ( ph -> F : Z --> RR )
6		climinf3.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
7		climinf3.7	. . . 4 |- ( ph -> F e. dom ~~> )
8	5	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
9	8	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
10	1, 9	ralrimia 39315	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
11	2, 3	climbddf 39919	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. dom ~~> /\ A. k e. Z ( F ` k ) e. CC ) -> E. x e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x )
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x )
13		renegcl 10344	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> -u x e. RR )
14	13	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> -u x e. RR )
15		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k x e. RR
16	1, 15	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ x e. RR )
17		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ k A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x
18	16, 17	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x )
19		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) /\ k e. Z ) -> ( ph /\ x e. RR ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) /\ k e. Z ) -> k e. Z )
21		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x )
22	21	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x )
23		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x )
24	8	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> ( F ` k ) e. RR )
25		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> x e. RR )
26	24, 25	absled 14169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x <-> ( -u x <_ ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ x ) ) )
27	23, 26	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> ( -u x <_ ( F ` k ) /\ ( F ` k ) <_ x ) )
28	27	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. Z ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> -u x <_ ( F ` k ) )
29	19, 20, 22, 28	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) /\ k e. Z ) -> -u x <_ ( F ` k ) )
30	29	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> ( k e. Z -> -u x <_ ( F ` k ) ) )
31	18, 30	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> A. k e. Z -u x <_ ( F ` k ) )
32		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( y = -u x -> ( y <_ ( F ` k ) <-> -u x <_ ( F ` k ) ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = -u x -> ( A. k e. Z y <_ ( F ` k ) <-> A. k e. Z -u x <_ ( F ` k ) ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( -u x e. RR /\ A. k e. Z -u x <_ ( F ` k ) ) -> E. y e. RR A. k e. Z y <_ ( F ` k ) )
35	14, 31, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x ) -> E. y e. RR A. k e. Z y <_ ( F ` k ) )
36	35	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> E. y e. RR A. k e. Z y <_ ( F ` k ) ) )
37	36	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. k e. Z ( abs ` ( F ` k ) ) <_ x -> E. y e. RR A. k e. Z y <_ ( F ` k ) ) )
38	12, 37	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. k e. Z y <_ ( F ` k ) )
39	1, 2, 3, 4, 5, 6, 38	climinf2 39939	1 |- ( ph -> F ~~> inf ( ran F , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by: (None)