Theorem dchrisum0lem2a 25206

Description: Lemma for dchrisum0 25209. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
rpvmasum2.w	|- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
dchrisum0.b	|- ( ph -> X e. W )
dchrisum0lem1.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
dchrisum0.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrisum0.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrisum0.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / ( sqr ` y ) ) )
dchrisum0lem2.h	|- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
dchrisum0lem2.u	|- ( ph -> H ~~> r U )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lem2a	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, .1.   m, d, x, y, C   F, d, x, y   a, d, m, x, y   m, N, x, y   ph, d, m, x   S, d, m, x, y   U, m, x   x, W   m, Z, x, y   D, m, x, y   L, a, d, m, x, y   X, a, d, m, x, y   m, F

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( a)   D( a, d)   S( a)   U( y, a, d)   .1. ( a, d)   F( a)   G( x, y, m, a, d)   H( x, y, m, a, d)   N( a, d)   W( y, m, a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ph )
3		elfznn 12370	. . . . 5 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
4		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
6		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
7		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
8		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . 11 |- W = { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 }
9		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( D \ { .1. } ) | sum_ m e. NN ( ( y ` ( L ` m ) ) / m ) = 0 } C_ ( D \ { .1. } )
10	8, 9	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- W C_ ( D \ { .1. } )
11		dchrisum0.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. W )
12	10, 11	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ( D \ { .1. } ) )
13	12	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> X e. D )
15		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
17	4, 5, 6, 7, 14, 16	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
18		nnrp 11842	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> m e. RR+ )
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
20	19	rpsqrtcld 14150	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
21	20	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
22	20	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
23	17, 21, 22	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
24	2, 3, 23	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
25	1, 24	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
26		dchrisum0lem2.u	. . . . 5 |- ( ph -> H ~~> r U )
27		rlimcl 14234	. . . . 5 |- ( H ~~> r U -> U e. CC )
28	26, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U e. CC )
29	28	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> U e. CC )
30		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
31		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
32		df-ioo 12179	. . . . . . . . . 10 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
33		df-ico 12181	. . . . . . . . . 10 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
34		xrltletr 11988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) )
35	32, 33, 34	ixxss1 12193	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) )
36	30, 31, 35	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo )
37		ioorp 12251	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
38	36, 37	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
39		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
41	38	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> x e. RR+ )
42	3	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = m -> ( L ` a ) = ( L ` m ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` m ) ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = m -> ( sqr ` a ) = ( sqr ` m ) )
46	44, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
47		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) )
48		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) e. _V
49	46, 47, 48	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
50	42, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
51	41, 50	sylanl2 683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` m ) = ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
52		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
53		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
55		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
56	54, 55	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. NN )
58		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	41, 24	sylanl2 683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) e. CC )
61	51, 59, 60	fsumser 14461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
62	61	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
63	40, 62	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) = ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = ( |_ ` x ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) )
65		rpssre 11843	. . . . . . . . 9 |- RR+ C_ RR
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
67	38, 66	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR )
68		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
69	46	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / ( sqr ` a ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
70	47, 69	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( m e. NN |-> ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
71	23, 70	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> CC )
72	71	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
73	58, 68, 72	serf 12829	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
74	73	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) = ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) )
75		dchrisum0.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
76	74, 75	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) ) ~~> S )
77	73	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` m ) e. CC )
78	54	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ x )
79	78	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
80	58, 64, 67, 68, 76, 77, 79	climrlim2 14278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S )
81		rlimo1 14347	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) ~~> r S -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
82	80, 81	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) ) e. O(1) )
83	63, 82	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) )
84		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) )
85	25, 84	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) : RR+ --> CC )
86		1red 10055	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
87	85, 66, 86	o1resb 14297	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) <-> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) |` ( 1 [,) +oo ) ) e. O(1) ) )
88	83, 87	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. O(1) )
89		o1const 14350	. . . 4 |- ( ( RR+ C_ RR /\ U e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
90	65, 28, 89	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> U ) e. O(1) )
91	25, 29, 88, 90	o1mul2 14355	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) )
92		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
93		2z 11409	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
94		rpexpcl 12879	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
95	92, 93, 94	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ 2 ) e. RR+ )
96	3	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. RR+ )
97		rpdivcl 11856	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. RR+ /\ m e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
98	95, 96, 97	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ )
99		dchrisum0lem2.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( y e. RR+ |-> ( sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( 1 / ( sqr ` d ) ) - ( 2 x. ( sqr ` y ) ) ) )
100	99	divsqrsumf 24707	. . . . . . . 8 |- H : RR+ --> RR
101	100	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
102	98, 101	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. RR )
103	102	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) e. CC )
104	24, 103	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
105	1, 104	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) e. CC )
106	25, 29	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
107	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> H ~~> r U )
108	107, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> U e. CC )
109	24, 108	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) e. CC )
110	1, 104, 109	fsumsub 14520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
111	24, 103, 108	subdid 10486	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
112	111	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
113	1, 29, 24	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) )
114	113	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
115	110, 112, 114	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) )
116	115	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) )
117	103, 108	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) e. CC )
118	24, 117	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
119	1, 118	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. CC )
120	119	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
121	118	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
122	1, 121	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. RR )
123		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
124	1, 118	fsumabs 14533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
125		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
127	126	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
128		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
130	129, 92	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) e. RR )
131		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
132	131	rprecred 11883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) e. RR )
133	24	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) e. RR )
134	96	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. RR+ )
136	135	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. RR )
137	117	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) e. RR )
138	135, 131	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR+ )
139	65, 138	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. RR )
140	24	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) )
141	117	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) )
142	2, 3, 17	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
143	135	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) e. CC )
144	135	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` m ) =/= 0 )
145	142, 143, 144	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) )
146	135	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) )
147		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( sqr ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` m ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sqr ` m ) ) = ( sqr ` m ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( abs ` ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
150	145, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) )
151	142	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR )
152		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
153		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
154	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
155		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. NN )
156	155	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. NN0 )
157	5, 153, 7	znzrhfo 19896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) )
158		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L : ZZ -onto-> ( Base ` Z ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
159	156, 157, 158	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> L : ZZ --> ( Base ` Z ) )
161		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. ZZ )
162		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L : ZZ --> ( Base ` Z ) /\ m e. ZZ ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
163	160, 161, 162	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( L ` m ) e. ( Base ` Z ) )
164	4, 6, 5, 153, 154, 163	dchrabs2 24987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ 1 )
165	151, 152, 135, 164	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` m ) ) ) / ( sqr ` m ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
166	150, 165	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` m ) ) )
167	99, 107	divsqrtsum2 24709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ ( ( x ^ 2 ) / m ) e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
168	98, 167	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) )
169	95	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) )
170		sqrtdiv 14006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ m e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
171	169, 96, 170	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) )
172	125	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
173		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) = x )
175	174	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` ( x ^ 2 ) ) / ( sqr ` m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
176	171, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) = ( x / ( sqr ` m ) ) )
177	176	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) )
178		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
179	178	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
180	135	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) )
181		recdiv 10731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
182	179, 180, 181	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( x / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
183	177, 182	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) = ( ( sqr ` m ) / x ) )
184	168, 183	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) <_ ( ( sqr ` m ) / x ) )
185	133, 136, 137, 139, 140, 141, 166, 184	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
186	24, 117	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) ) x. ( abs ` ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) )
187		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
188		dmdcan 10735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
189	180, 179, 187, 188	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( 1 / x ) )
190	138	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` m ) / x ) e. CC )
191		reccl 10692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( sqr ` m ) e. CC /\ ( sqr ` m ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
192	180, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` m ) ) e. CC )
193	190, 192	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sqr ` m ) / x ) x. ( 1 / ( sqr ` m ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
194	189, 193	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) = ( ( 1 / ( sqr ` m ) ) x. ( ( sqr ` m ) / x ) ) )
195	185, 186, 194	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( 1 / x ) )
196	1, 121, 132, 195	fsumle 14531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) )
197		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
198		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
199	126, 197, 198	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
200	199	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
201	92	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
202	201	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. CC )
203		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( 1 / x ) e. CC ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
204	1, 202, 203	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
205	129	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. CC )
206	178	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
207	206	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
208	206	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
209	205, 207, 208	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
210	200, 204, 209	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( |_ ` x ) / x ) )
211	196, 210	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ ( ( |_ ` x ) / x ) )
212		flle 12600	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
213	127, 212	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
214	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
215	214	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 1 ) = x )
216	213, 215	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) )
217		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
218	217	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
219		ledivmul 10899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
220	129, 123, 218, 219	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
221	216, 220	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 )
222	122, 130, 123, 211, 221	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
223	120, 122, 123, 124, 222	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
224	223	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) <_ 1 )
225	66, 119, 86, 86, 224	elo1d 14267	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) - U ) ) ) e. O(1) )
226	116, 225	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) - ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) ) e. O(1) )
227	105, 106, 226	o1dif 14360	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. U ) ) e. O(1) ) )
228	91, 227	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` m ) ) / ( sqr ` m ) ) x. ( H ` ( ( x ^ 2 ) / m ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   #chash 13117   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  25207