Theorem flcld 12599

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
flcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		flcl 12596	. 2 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888   RRcr 9935   ZZcz 11377   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  flge  12606  flwordi  12613  flword2  12614  fladdz  12626  flhalf  12631  fldiv4p1lem1div2  12636  fldiv4lem1div2uz2  12637  fldiv4lem1div2  12638  ceicl  12642  quoremz  12654  intfracq  12658  fldiv  12659  moddiffl  12681  moddifz  12682  zmodcl  12690  modadd1  12707  modmuladd  12712  modmul1  12723  modsubdir  12739  iexpcyc  12969  absrdbnd  14081  limsupgre  14212  climrlim2  14278  dvdsmod  15050  divalgmod  15129  divalgmodOLD  15130  flodddiv4t2lthalf  15140  bitsp1  15153  bitsmod  15158  bitscmp  15160  bitsuz  15196  modgcd  15253  bezoutlem3  15258  isprm7  15420  hashdvds  15480  prmdiv  15490  odzdvds  15500  fldivp1  15601  pcfac  15603  pcbc  15604  prmreclem4  15623  vdwnnlem3  15701  mulgmodid  17581  odmod  17965  gexdvds  17999  zringlpirlem3  19834  zcld  22616  ovolunlem1a  23264  opnmbllem  23369  mbfi1fseqlem5  23486  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem3  23791  sineq0  24273  efif1olem2  24289  ppiltx  24903  dvdsflf1o  24913  ppiub  24929  fsumvma2  24939  logfac2  24942  chpchtsum  24944  pcbcctr  25001  bposlem1  25009  bposlem3  25011  bposlem4  25012  bposlem5  25013  bposlem6  25014  gausslemma2dlem3  25093  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem5  25096  lgseisenlem4  25103  lgseisen  25104  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  2lgslem1  25119  2lgslem2  25120  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlema  25177  dchrisumlem3  25180  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0lem1  25205  rplogsum  25216  mulog2sumlem2  25224  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemg  25287  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemf  25294  ostth2lem2  25323  dya2ub  30332  dya2icoseg  30339  dnibndlem13  32480  knoppndvlem19  32521  ltflcei  33397  opnmbllem0  33445  itg2addnclem2  33462  cntotbnd  33595  irrapxlem1  37386  irrapxlem2  37387  irrapxlem3  37388  irrapxlem4  37389  pellexlem5  37397  pellfund14  37462  hashnzfz2  38520  hashnzfzclim  38521  sineq0ALT  39173  lefldiveq  39505  ltmod  39870  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dirkertrigeqlem3  40317  dirkertrigeq  40318  dirkercncflem4  40323  fourierdlem4  40328  fourierdlem7  40331  fourierdlem19  40343  fourierdlem26  40350  fourierdlem41  40365  fourierdlem47  40370  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem51  40374  fourierdlem63  40386  fourierdlem65  40388  fourierdlem71  40394  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  lighneallem2  41523  fldivmod  42313  modn0mul  42315  fllogbd  42354  fldivexpfllog2  42359  logbpw2m1  42361  fllog2  42362  nnpw2blen  42374  blen1b  42382  nnolog2flm1  42384  blennngt2o2  42386  blennn0e2  42388  digvalnn0  42393  dig2nn1st  42399  dig2nn0  42405  dig2bits  42408  dignn0flhalflem2  42410