Theorem cmnmnd 18208

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	|- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	iscmn 18200	. 2 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
4	3	simplbi 476	1 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  cmn32  18211  cmn4  18212  cmn12  18213  mulgnn0di  18231  mulgmhm  18233  ghmcmn  18237  prdscmnd  18264  gsumres  18314  gsumcl2  18315  gsumf1o  18317  gsumsubmcl  18319  gsumadd  18323  gsumsplit  18328  gsummhm  18338  gsummulglem  18341  gsuminv  18346  gsumunsnfd  18356  gsumdifsnd  18360  gsum2d  18371  prdsgsum  18377  srgmnd  18509  gsumvsmul  18927  psrbagev1  19510  evlslem3  19514  evlslem1  19515  frlmgsum  20111  frlmup2  20138  islindf4  20177  mdetdiagid  20406  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  gsummatr01lem3  20463  gsummatr01  20465  chpscmat  20647  chp0mat  20651  chpidmat  20652  tmdgsum  21899  tmdgsum2  21900  tsms0  21945  tsmsmhm  21949  tsmsadd  21950  tgptsmscls  21953  tsmssplit  21955  tsmsxplem1  21956  tsmsxplem2  21957  imasdsf1olem  22178  lgseisenlem4  25103  xrge00  29686  xrge0omnd  29711  slmdmnd  29759  gsumle  29779  gsummptres  29784  xrge0iifmhm  29985  xrge0tmdOLD  29991  esum0  30111  esumsnf  30126  esumcocn  30142  gsumge0cl  40588  sge0tsms  40597  gsumpr  42139  gsumdifsndf  42144