Theorem gsumle 29779

Description: A finite sum in an ordered monoid is monotonic. This proof would be much easier in an ordered group, where an inverse element would be available. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumle.b	|- B = ( Base ` M )
gsumle.l	|- .<_ = ( le ` M )
gsumle.m	|- ( ph -> M e. oMnd )
gsumle.n	|- ( ph -> M e. CMnd )
gsumle.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumle.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumle.g	|- ( ph -> G : A --> B )
gsumle.c	|- ( ph -> F oR .<_ G )

Assertion

Ref	Expression
gsumle	|- ( ph -> ( M gsumg F ) .<_ ( M gsumg G ) )

Proof of Theorem gsumle

Dummy variables e a y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumle.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		ssid 3624	. . . 4 |- A C_ A
3		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
4	3	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ (/) C_ A ) ) )
5		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( F |` a ) = ( F |` (/) ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( M gsumg ( F |` a ) ) = ( M gsumg ( F |` (/) ) ) )
7		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> ( G |` a ) = ( G |` (/) ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( M gsumg ( G |` a ) ) = ( M gsumg ( G |` (/) ) ) )
9	6, 8	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) <-> ( M gsumg ( F |` (/) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` (/) ) ) ) )
10	4, 9	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` (/) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` (/) ) ) ) ) )
11		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( a C_ A <-> e C_ A ) )
12	11	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ e C_ A ) ) )
13		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = e -> ( F |` a ) = ( F |` e ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( M gsumg ( F |` a ) ) = ( M gsumg ( F |` e ) ) )
15		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = e -> ( G |` a ) = ( G |` e ) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = e -> ( M gsumg ( G |` a ) ) = ( M gsumg ( G |` e ) ) )
17	14, 16	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( a = e -> ( ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) <-> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) )
18	12, 17	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( a = e -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) ) <-> ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) ) )
19		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( a C_ A <-> ( e u. { y } ) C_ A ) )
20	19	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) ) )
21		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( F |` a ) = ( F |` ( e u. { y } ) ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( M gsumg ( F |` a ) ) = ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) )
23		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( G |` a ) = ( G |` ( e u. { y } ) ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( M gsumg ( G |` a ) ) = ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) )
25	22, 24	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) <-> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) ) )
26	20, 25	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( a = ( e u. { y } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) ) ) )
27		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( ph /\ a C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
29		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( F |` a ) = ( F |` A ) )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( M gsumg ( F |` a ) ) = ( M gsumg ( F |` A ) ) )
31		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( G |` a ) = ( G |` A ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> ( M gsumg ( G |` a ) ) = ( M gsumg ( G |` A ) ) )
33	30, 32	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) <-> ( M gsumg ( F |` A ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` A ) ) ) )
34	28, 33	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` a ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` a ) ) ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` A ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` A ) ) ) ) )
35		gsumle.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. oMnd )
36		omndtos 29705	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. oMnd -> M e. Toset )
37		tospos 29658	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. Toset -> M e. Poset )
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. Poset )
39		res0 5400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F |` (/) ) = (/)
40	39	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( M gsumg ( F |` (/) ) ) = ( M gsumg (/) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
42	41	gsum0 17278	. . . . . . . . . . 11 |- ( M gsumg (/) ) = ( 0g ` M )
43	40, 42	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( M gsumg ( F |` (/) ) ) = ( 0g ` M )
44		omndmnd 29704	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. oMnd -> M e. Mnd )
45		gsumle.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` M )
46	45, 41	mndidcl 17308	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Mnd -> ( 0g ` M ) e. B )
47	35, 44, 46	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0g ` M ) e. B )
48	43, 47	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M gsumg ( F |` (/) ) ) e. B )
49		gsumle.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` M )
50	45, 49	posref 16951	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Poset /\ ( M gsumg ( F |` (/) ) ) e. B ) -> ( M gsumg ( F |` (/) ) ) .<_ ( M gsumg ( F |` (/) ) ) )
51	38, 48, 50	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M gsumg ( F |` (/) ) ) .<_ ( M gsumg ( F |` (/) ) ) )
52		res0 5400	. . . . . . . . . 10 |- ( G |` (/) ) = (/)
53	39, 52	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 |- ( F |` (/) ) = ( G |` (/) )
54	53	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( M gsumg ( F |` (/) ) ) = ( M gsumg ( G |` (/) ) )
55	51, 54	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M gsumg ( F |` (/) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` (/) ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (/) C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` (/) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` (/) ) ) )
57		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- e C_ ( e u. { y } )
58		sstr2 3610	. . . . . . . . . 10 |- ( e C_ ( e u. { y } ) -> ( ( e u. { y } ) C_ A -> e C_ A ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( e u. { y } ) C_ A -> e C_ A )
60	59	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ph /\ e C_ A ) )
61	60	imim1i 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) )
62		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. y e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) )
63		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. y e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> -. y e. e )
64		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. y e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
66	35	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> M e. oMnd )
67		gsumle.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : A --> B )
68	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> G : A --> B )
69		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( e u. { y } ) C_ A )
70		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { y } C_ ( e u. { y } )
71		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
72	71	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( e u. { y } ) <-> { y } C_ ( e u. { y } ) )
73	70, 72	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. ( e u. { y } )
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> y e. ( e u. { y } ) )
75	69, 74	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> y e. A )
76	68, 75	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( G ` y ) e. B )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( G ` y ) e. B )
78		gsumle.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. CMnd )
79	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> M e. CMnd )
80		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- e e. _V
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> e e. _V )
82		gsumle.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> B )
83	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> F : A --> B )
84	57, 69	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> e C_ A )
85	83, 84	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( F |` e ) : e --> B )
86	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> A e. Fin )
87		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( 0g ` M ) e. _V )
88	83, 86, 87	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> F finSupp ( 0g ` M ) )
89	88, 87	fsuppres 8300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( F |` e ) finSupp ( 0g ` M ) )
90	45, 41, 79, 81, 85, 89	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) e. B )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) e. B )
92	83, 75	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( F ` y ) e. B )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( F ` y ) e. B )
94	68, 84	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( G |` e ) : e --> B )
95		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. Fin /\ e C_ A ) -> e e. Fin )
96	86, 84, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> e e. Fin )
97	94, 96, 87	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( G |` e ) finSupp ( 0g ` M ) )
98	45, 41, 79, 81, 94, 97	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( G |` e ) ) e. B )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( G |` e ) ) e. B )
100		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) )
101		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ph )
102		gsumle.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F oR .<_ G )
103	102	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> F oR .<_ G )
104		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
105	82, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F Fn A )
106		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
107	67, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G Fn A )
108		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i A ) = A
109		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
110		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( G ` y ) = ( G ` y ) )
111	105, 107, 1, 1, 108, 109, 110	ofrval 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ F oR .<_ G /\ y e. A ) -> ( F ` y ) .<_ ( G ` y ) )
112	101, 103, 75, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( F ` y ) .<_ ( G ` y ) )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( F ` y ) .<_ ( G ` y ) )
114	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> M e. CMnd )
115	45, 49, 65, 66, 77, 91, 93, 99, 100, 113, 114	omndadd2d 29708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( ( M gsumg ( F |` e ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) .<_ ( ( M gsumg ( G |` e ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) )
116	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> e e. Fin )
117	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ z e. e ) -> F : A --> B )
118		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ z e. e ) -> ( e u. { y } ) C_ A )
119		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. e -> z e. ( e u. { y } ) )
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ z e. e ) -> z e. ( e u. { y } ) )
121	118, 120	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ z e. e ) -> z e. A )
122	117, 121	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ z e. e ) -> ( F ` z ) e. B )
123	122	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( z e. e -> ( F ` z ) e. B ) )
124	123	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( z e. e -> ( F ` z ) e. B ) )
125	124	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) /\ z e. e ) -> ( F ` z ) e. B )
126	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> y e. _V )
127		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> -. y e. e )
128		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
129	45, 65, 114, 116, 125, 126, 127, 93, 128	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( F ` z ) ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( F ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) )
130	83, 69	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( F |` ( e u. { y } ) ) = ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( F ` z ) ) )
131	130	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( F ` z ) ) ) )
132	83, 84	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( F |` e ) = ( z e. e |-> ( F ` z ) ) )
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) = ( M gsumg ( z e. e |-> ( F ` z ) ) ) )
134	133	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( ( M gsumg ( F |` e ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( F ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) )
135	131, 134	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( F |` e ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) <-> ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( F ` z ) ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( F ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( F |` e ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) <-> ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( F ` z ) ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( F ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) ) )
137	129, 136	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( F |` e ) ) ( +g ` M ) ( F ` y ) ) )
138	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> G : A --> B )
139	138	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ z e. e ) -> G : A --> B )
140	121	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ z e. e ) -> z e. A )
141	139, 140	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ z e. e ) -> ( G ` z ) e. B )
142	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> y e. _V )
143		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> -. y e. e )
144		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
145	45, 65, 79, 96, 141, 142, 143, 76, 144	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( G ` z ) ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( G ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) )
146		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( e u. { y } ) C_ A )
147	138, 146	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( G |` ( e u. { y } ) ) = ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( G ` z ) ) )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( G ` z ) ) ) )
149		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( e C_ ( e u. { y } ) -> ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) = ( G |` e ) )
150	57, 149	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) = ( G |` e ) )
151	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> e C_ A )
152	138, 151	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( G |` e ) = ( z e. e |-> ( G ` z ) ) )
153	150, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) = ( z e. e |-> ( G ` z ) ) )
154	153	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) ) = ( M gsumg ( z e. e |-> ( G ` z ) ) ) )
155		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { y } C_ ( e u. { y } ) -> ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) = ( G |` { y } ) )
156	70, 155	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) = ( G |` { y } ) )
157	70, 146	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> { y } C_ A )
158	138, 157	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( G |` { y } ) = ( z e. { y } |-> ( G ` z ) ) )
159	156, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) = ( z e. { y } |-> ( G ` z ) ) )
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) = ( M gsumg ( z e. { y } |-> ( G ` z ) ) ) )
161	35, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> M e. Mnd )
162	161	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> M e. Mnd )
163	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> y e. _V )
164	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> y e. ( e u. { y } ) )
165	146, 164	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
166	138, 165	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( G ` y ) e. B )
167	144	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ z = y ) -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
168	45, 162, 163, 166, 167	gsumsnd 18352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( z e. { y } |-> ( G ` z ) ) ) = ( G ` y ) )
169	160, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) = ( G ` y ) )
170	154, 169	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( G ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) )
171	148, 170	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) ) <-> ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( G ` z ) ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( G ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) ) )
172	171	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) ) <-> ( M gsumg ( z e. ( e u. { y } ) |-> ( G ` z ) ) ) = ( ( M gsumg ( z e. e |-> ( G ` z ) ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) ) )
173	145, 172	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) ) )
174	57, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) = ( G |` e )
175	174	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) ) = ( M gsumg ( G |` e ) )
176	70, 155	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) = ( G |` { y } )
177	176	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) = ( M gsumg ( G |` { y } ) )
178	175, 177	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( ( G |` ( e u. { y } ) ) |` { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( G |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( G |` { y } ) ) )
179	173, 178	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( G |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( G |` { y } ) ) ) )
180	70, 69	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> { y } C_ A )
181	68, 180	feqresmpt 6250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( G |` { y } ) = ( x e. { y } |-> ( G ` x ) ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( G |` { y } ) ) = ( M gsumg ( x e. { y } |-> ( G ` x ) ) ) )
183		cmnmnd 18208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. CMnd -> M e. Mnd )
184	79, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> M e. Mnd )
185		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( G ` x ) = ( G ` y ) )
186	45, 185	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. Mnd /\ y e. _V /\ ( G ` y ) e. B ) -> ( M gsumg ( x e. { y } |-> ( G ` x ) ) ) = ( G ` y ) )
187	184, 142, 76, 186	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( x e. { y } |-> ( G ` x ) ) ) = ( G ` y ) )
188	182, 187	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( G |` { y } ) ) = ( G ` y ) )
189	188	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( ( M gsumg ( G |` e ) ) ( +g ` M ) ( M gsumg ( G |` { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( G |` e ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) )
190	179, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) -> ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( G |` e ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) )
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) = ( ( M gsumg ( G |` e ) ) ( +g ` M ) ( G ` y ) ) )
192	115, 137, 191	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) /\ -. y e. e ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) )
193	62, 63, 64, 192	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( e e. Fin /\ -. y e. e ) /\ ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) ) /\ ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) )
194	193	exp31 630	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. Fin /\ -. y e. e ) -> ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) ) ) )
195	194	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( e e. Fin /\ -. y e. e ) -> ( ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) ) ) )
196	61, 195	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( e e. Fin /\ -. y e. e ) -> ( ( ( ph /\ e C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` e ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` e ) ) ) -> ( ( ph /\ ( e u. { y } ) C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` ( e u. { y } ) ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` ( e u. { y } ) ) ) ) ) )
197	10, 18, 26, 34, 56, 196	findcard2s 8201	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( M gsumg ( F |` A ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` A ) ) ) )
198	197	imp 445	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( ph /\ A C_ A ) ) -> ( M gsumg ( F |` A ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` A ) ) )
199	2, 198	mpanr2 720	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ph ) -> ( M gsumg ( F |` A ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` A ) ) )
200	1, 199	mpancom 703	. 2 |- ( ph -> ( M gsumg ( F |` A ) ) .<_ ( M gsumg ( G |` A ) ) )
201		fnresdm 6000	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
202	105, 201	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
203	202	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( M gsumg ( F |` A ) ) = ( M gsumg F ) )
204		fnresdm 6000	. . . 4 |- ( G Fn A -> ( G |` A ) = G )
205	107, 204	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( G |` A ) = G )
206	205	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( M gsumg ( G |` A ) ) = ( M gsumg G ) )
207	200, 203, 206	3brtr3d 4684	1 |- ( ph -> ( M gsumg F ) .<_ ( M gsumg G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   lecple 15948   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Posetcpo 16940  Tosetctos 17033   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193  oMndcomnd 29697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-omnd 29699

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