Theorem gsumvsmul 18927

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc2 18607, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul.b	|- B = ( Base ` R )
gsumvsmul.s	|- S = (Scalar ` R )
gsumvsmul.k	|- K = ( Base ` S )
gsumvsmul.z	|- .0. = ( 0g ` R )
gsumvsmul.p	|- .+ = ( +g ` R )
gsumvsmul.t	|- .x. = ( .s ` R )
gsumvsmul.r	|- ( ph -> R e. LMod )
gsumvsmul.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumvsmul.x	|- ( ph -> X e. K )
gsumvsmul.y	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> Y e. B )
gsumvsmul.n	|- ( ph -> ( k e. A |-> Y ) finSupp .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul	|- ( ph -> ( R gsumg ( k e. A |-> ( X .x. Y ) ) ) = ( X .x. ( R gsumg ( k e. A |-> Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   .x. , k   S, k   k, K   k, X   .0. , k

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   R( k)   V( k)   Y( k)

Proof of Theorem gsumvsmul

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		gsumvsmul.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` R )
3		gsumvsmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. LMod )
4		lmodcmn 18911	. . 3 |- ( R e. LMod -> R e. CMnd )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ph -> R e. CMnd )
6		cmnmnd 18208	. . 3 |- ( R e. CMnd -> R e. Mnd )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( ph -> R e. Mnd )
8		gsumvsmul.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
9		gsumvsmul.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. K )
10		gsumvsmul.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` R )
11		gsumvsmul.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` R )
12		gsumvsmul.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` S )
13	1, 10, 11, 12	lmodvsghm 18924	. . . 4 |- ( ( R e. LMod /\ X e. K ) -> ( y e. B |-> ( X .x. y ) ) e. ( R GrpHom R ) )
14	3, 9, 13	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( X .x. y ) ) e. ( R GrpHom R ) )
15		ghmmhm 17670	. . 3 |- ( ( y e. B |-> ( X .x. y ) ) e. ( R GrpHom R ) -> ( y e. B |-> ( X .x. y ) ) e. ( R MndHom R ) )
16	14, 15	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( X .x. y ) ) e. ( R MndHom R ) )
17		gsumvsmul.y	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> Y e. B )
18		gsumvsmul.n	. 2 |- ( ph -> ( k e. A |-> Y ) finSupp .0. )
19		oveq2 6658	. 2 |- ( y = Y -> ( X .x. y ) = ( X .x. Y ) )
20		oveq2 6658	. 2 |- ( y = ( R gsumg ( k e. A |-> Y ) ) -> ( X .x. y ) = ( X .x. ( R gsumg ( k e. A |-> Y ) ) ) )
21	1, 2, 5, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 18339	1 |- ( ph -> ( R gsumg ( k e. A |-> ( X .x. Y ) ) ) = ( X .x. ( R gsumg ( k e. A |-> Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  frlmup1  20137  lincscm  42219  lincresunit3lem2  42269