Theorem tsmssplit 21955

Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssplit.b	|- B = ( Base ` G )
tsmssplit.p	|- .+ = ( +g ` G )
tsmssplit.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmssplit.2	|- ( ph -> G e. TopMnd )
tsmssplit.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmssplit.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmssplit.x	|- ( ph -> X e. ( G tsums ( F |` C ) ) )
tsmssplit.y	|- ( ph -> Y e. ( G tsums ( F |` D ) ) )
tsmssplit.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
tsmssplit.u	|- ( ph -> A = ( C u. D ) )

Assertion

Ref	Expression
tsmssplit	|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( G tsums F ) )

Proof of Theorem tsmssplit

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssplit.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		tsmssplit.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		tsmssplit.1	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		tsmssplit.2	. . 3 |- ( ph -> G e. TopMnd )
5		tsmssplit.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
6		tsmssplit.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> B )
7	6	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. B )
8		cmnmnd 18208	. . . . . . . 8 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Mnd )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
11	1, 10	mndidcl 17308	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. B )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( 0g ` G ) e. B )
14	7, 13	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) e. B )
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) )
16	14, 15	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) : A --> B )
17	7, 13	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) e. B )
18		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) )
19	17, 18	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) : A --> B )
20		tsmssplit.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( G tsums ( F |` C ) ) )
21	6	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F = ( k e. A |-> ( F ` k ) ) )
22	21	reseq1d 5395	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` C ) )
23		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- C C_ ( C u. D )
24		tsmssplit.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( C u. D ) )
25	23, 24	syl5sseqr 3654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C C_ A )
26		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. C -> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
27	26	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . 9 |- ( k e. C |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( k e. C |-> ( F ` k ) )
28		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` C ) = ( k e. C |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) )
29		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` C ) = ( k e. C |-> ( F ` k ) ) )
30	27, 28, 29	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( C C_ A -> ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` C ) = ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` C ) )
31	25, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` C ) = ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` C ) )
32	22, 31	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` C ) = ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` C ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( G tsums ( F |` C ) ) = ( G tsums ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` C ) ) )
34		tmdtps 21880	. . . . . . 7 |- ( G e. TopMnd -> G e. TopSp )
35	4, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TopSp )
36		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A \ C ) -> -. k e. C )
37	36	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> -. k e. C )
38	37	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ C ) ) -> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
39	38, 5	suppss2 7329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ C )
40	1, 10, 3, 35, 5, 16, 39	tsmsres 21947	. . . . 5 |- ( ph -> ( G tsums ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` C ) ) = ( G tsums ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
41	33, 40	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( G tsums ( F |` C ) ) = ( G tsums ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
42	20, 41	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> X e. ( G tsums ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
43		tsmssplit.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( G tsums ( F |` D ) ) )
44	21	reseq1d 5395	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` D ) = ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` D ) )
45		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- D C_ ( C u. D )
46	45, 24	syl5sseqr 3654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D C_ A )
47		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. D -> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
48	47	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . 9 |- ( k e. D |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( k e. D |-> ( F ` k ) )
49		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( D C_ A -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` D ) = ( k e. D |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) )
50		resmpt 5449	. . . . . . . . 9 |- ( D C_ A -> ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` D ) = ( k e. D |-> ( F ` k ) ) )
51	48, 49, 50	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( D C_ A -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` D ) = ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` D ) )
52	46, 51	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` D ) = ( ( k e. A |-> ( F ` k ) ) |` D ) )
53	44, 52	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` D ) = ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` D ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( G tsums ( F |` D ) ) = ( G tsums ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` D ) ) )
55		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( A \ D ) -> -. k e. D )
56	55	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ D ) ) -> -. k e. D )
57	56	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ D ) ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
58	57, 5	suppss2 7329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) supp ( 0g ` G ) ) C_ D )
59	1, 10, 3, 35, 5, 19, 58	tsmsres 21947	. . . . 5 |- ( ph -> ( G tsums ( ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) |` D ) ) = ( G tsums ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
60	54, 59	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( G tsums ( F |` D ) ) = ( G tsums ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
61	43, 60	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( G tsums ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
62	1, 2, 3, 4, 5, 16, 19, 42, 61	tsmsadd 21950	. 2 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( G tsums ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) oF .+ ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) ) )
63	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. C ) -> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
64		tsmssplit.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
65		noel 3919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. k e. (/)
66		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C i^i D ) = (/) -> ( k e. ( C i^i D ) <-> k e. (/) ) )
67	65, 66	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C i^i D ) = (/) -> -. k e. ( C i^i D ) )
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. k e. ( C i^i D ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. ( C i^i D ) )
70		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( C i^i D ) <-> ( k e. C /\ k e. D ) )
71	69, 70	sylnib 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. ( k e. C /\ k e. D ) )
72		imnan 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. C -> -. k e. D ) <-> -. ( k e. C /\ k e. D ) )
73	71, 72	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k e. C -> -. k e. D ) )
74	73	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. C ) -> -. k e. D )
75	74	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. C ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
76	63, 75	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. C ) -> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( ( F ` k ) .+ ( 0g ` G ) ) )
77	1, 2, 10	mndrid 17312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ ( F ` k ) e. B ) -> ( ( F ` k ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
78	9, 77	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` k ) e. B ) -> ( ( F ` k ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
79	7, 78	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( F ` k ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. C ) -> ( ( F ` k ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
81	76, 80	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. C ) -> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( F ` k ) )
82	73	con2d 129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k e. D -> -. k e. C ) )
83	82	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. D ) -> -. k e. C )
84	83	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. D ) -> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
85	47	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. D ) -> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) = ( F ` k ) )
86	84, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. D ) -> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( F ` k ) ) )
87	1, 2, 10	mndlid 17311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ ( F ` k ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
88	9, 87	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` k ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
89	7, 88	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. D ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
91	86, 90	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k e. D ) -> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( F ` k ) )
92	24	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. A <-> k e. ( C u. D ) ) )
93		elun 3753	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( C u. D ) <-> ( k e. C \/ k e. D ) )
94	92, 93	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A <-> ( k e. C \/ k e. D ) ) )
95	94	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k e. C \/ k e. D ) )
96	81, 91, 95	mpjaodan 827	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( F ` k ) )
97	96	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) = ( k e. A |-> ( F ` k ) ) )
98	21, 97	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> F = ( k e. A |-> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
99		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) )
100		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) = ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) )
101	5, 14, 17, 99, 100	offval2 6914	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) oF .+ ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) = ( k e. A |-> ( if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) .+ if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
102	98, 101	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> F = ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) oF .+ ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) )
103	102	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( G tsums ( ( k e. A |-> if ( k e. C , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) oF .+ ( k e. A |-> if ( k e. D , ( F ` k ) , ( 0g ` G ) ) ) ) ) )
104	62, 103	eleqtrrd 2704	1 |- ( ph -> ( X .+ Y ) e. ( G tsums F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193   TopSpctps 20736  TopMndctmd 21874   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  esumsplit  30115