Theorem mulgnn0di 18231

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	|- B = ( Base ` G )
mulgdi.m	|- .x. = (.g ` G )
mulgdi.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	|- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables x k y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 18208	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
2	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. Mnd )
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	mndcl 17301	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
6	5	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
7	2, 6	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
8		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> G e. CMnd )
9	3, 4	cmncom 18209	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
10	9	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
11	8, 10	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
12	3, 4	mndass 17302	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
13	2, 12	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
14		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. NN )
15		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17		simplr2 1104	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> X e. B )
18		elfznn 12370	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
19		fvconst2g 6467	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
20	17, 18, 19	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) = X )
21	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> X e. B )
22	20, 21	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { X } ) ` k ) e. B )
23		simplr3 1105	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> Y e. B )
24		fvconst2g 6467	. . . . . 6 |- ( ( Y e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
25	23, 18, 24	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) = Y )
26	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> Y e. B )
27	25, 26	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { Y } ) ` k ) e. B )
28	3, 4	mndcl 17301	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29	2, 17, 23, 28	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( X .+ Y ) e. B )
30		fvconst2g 6467	. . . . . 6 |- ( ( ( X .+ Y ) e. B /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
31	29, 18, 30	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( X .+ Y ) )
32	20, 25	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) = ( X .+ Y ) )
33	31, 32	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ` k ) = ( ( ( NN X. { X } ) ` k ) .+ ( ( NN X. { Y } ) ` k ) ) )
34	7, 11, 13, 16, 22, 27, 33	seqcaopr 12838	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
35		mulgdi.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
36		eqid 2622	. . . . 5 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) )
37	3, 4, 35, 36	mulgnn 17547	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
38	14, 29, 37	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { ( X .+ Y ) } ) ) ` M ) )
39		eqid 2622	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
40	3, 4, 35, 39	mulgnn 17547	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
41	14, 17, 40	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. X ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) )
42		eqid 2622	. . . . . 6 |- seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) = seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) )
43	3, 4, 35, 42	mulgnn 17547	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ Y e. B ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
44	14, 23, 43	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. Y ) = ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) )
45	41, 44	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) ) ` M ) .+ ( seq 1 ( .+ , ( NN X. { Y } ) ) ` M ) ) )
46	34, 38, 45	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
47	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> G e. Mnd )
48		simplr2 1104	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> X e. B )
49		simplr3 1105	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> Y e. B )
50	47, 48, 49, 28	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( X .+ Y ) e. B )
51		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
52	3, 51, 35	mulg0 17546	. . . . 5 |- ( ( X .+ Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
53	50, 52	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0g ` G ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
55	54, 51	mndidcl 17308	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) )
56	54, 4, 51	mndlid 17311	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ ( 0g ` G ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
57	55, 56	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
58	1, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
60	53, 59	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
61		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
62	61	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( 0 .x. ( X .+ Y ) ) )
63	61	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
64	3, 51, 35	mulg0 17546	. . . . . 6 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
65	48, 64	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
66	63, 65	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0g ` G ) )
67	61	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0 .x. Y ) )
68	3, 51, 35	mulg0 17546	. . . . . 6 |- ( Y e. B -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
69	49, 68	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
70	67, 69	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. Y ) = ( 0g ` G ) )
71	66, 70	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
72	60, 62, 71	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )
73		simpr1 1067	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> M e. NN0 )
74		elnn0 11294	. . 3 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
75	73, 74	sylib 208	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
76	46, 72, 75	mpjaodan 827	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( M e. NN0 /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( M .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  mulgdi  18232  mulgmhm  18233